Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7698 / 4313
↖ ↑ ↗
← N 64.538996°
W 10.854492°		 ← 1 050.36 m → N 64.538996°
W 10.832519°		 →
↑
1 050.51 m
↓
↑
1 050.51 m
↓
N 64.529548°
W 10.854492°		 ← 1 050.72 m →
1 103 606 m²		 N 64.529548°
W 10.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469879150390625 y=0.263275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469879150390625 × 214)
    floor (0.469879150390625 × 16384)
    floor (7698.5)     		tx = 7698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263275146484375 × 214)
    floor (0.263275146484375 × 16384)
    floor (4313.5)     		ty = 4313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7698 / 4313 ti = "14/7698/4313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7698/4313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7698 ÷ 214
    7698 ÷ 16384     		x = 0.4698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4313 ÷ 214
    4313 ÷ 16384     		y = 0.26324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18944663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26324462890625 × 2 - 1) × π
    0.4735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48757786900958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18944663} λ = -0.18944663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48757786900958))-π/2
    2×atan(4.42636129753277)-π/2
    2×1.34860714977114-π/2
    2.69721429954228-1.57079632675     		φ = 1.12641797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18944663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12641797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.538996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7698 KachelY 4313 -0.18944663 1.12641797 -10.854492 64.538996
    Oben rechts KachelX + 1 7699 KachelY 4313 -0.18906313 1.12641797 -10.832519 64.538996
    Unten links KachelX 7698 KachelY + 1 4314 -0.18944663 1.12625308 -10.854492 64.529548
    Unten rechts KachelX + 1 7699 KachelY + 1 4314 -0.18906313 1.12625308 -10.832519 64.529548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12641797-1.12625308) × R
    0.000164890000000195 × 6371000     		dl = 1050.51419000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12641797-1.12625308) × R
    0.000164890000000195 × 6371000     		dr = 1050.51419000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18944663--0.18906313) × cos(1.12641797) × R
    0.000383500000000009 × 0.429896695376922 × 6371000     		do = 1050.35735303551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18944663--0.18906313) × cos(1.12625308) × R
    0.000383500000000009 × 0.430045565099052 × 6371000     		du = 1050.72108322689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12641797)-sin(1.12625308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429896695376922-0.430045565099052)×R²
    abs(-0.18906313--0.18944663)×0.000148869722129574×R²
    0.000383500000000009×0.000148869722129574×6371000²
    0.000383500000000009×0.000148869722129574×40589641000000     		ar = 1103606.3583012m²