Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7698 / 1564
↖ ↑ ↗
← N 73.677265°
E158.291016°		 ← 1 373.34 m → N 73.677265°
E158.334961°		 →
↑
1 373.84 m
↓
↑
1 373.84 m
↓
N 73.664909°
E158.291016°		 ← 1 374.35 m →
1 887 443 m²		 N 73.664909°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93975830078125 y=0.19097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93975830078125 × 213)
    floor (0.93975830078125 × 8192)
    floor (7698.5)     		tx = 7698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19097900390625 × 213)
    floor (0.19097900390625 × 8192)
    floor (1564.5)     		ty = 1564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7698 / 1564 ti = "13/7698/1564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7698/1564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7698 ÷ 213
    7698 ÷ 8192     		x = 0.939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1564 ÷ 213
    1564 ÷ 8192     		y = 0.19091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939697265625 × 2 - 1) × π
    0.87939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76269940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19091796875 × 2 - 1) × π
    0.6181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94201967740771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76269940} λ = 2.76269940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94201967740771))-π/2
    2×atan(6.97281960502782)-π/2
    2×1.42835358787712-π/2
    2.85670717575424-1.57079632675     		φ = 1.28591085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76269940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28591085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.677265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7698 KachelY 1564 2.76269940 1.28591085 158.291016 73.677265
    Oben rechts KachelX + 1 7699 KachelY 1564 2.76346639 1.28591085 158.334961 73.677265
    Unten links KachelX 7698 KachelY + 1 1565 2.76269940 1.28569521 158.291016 73.664909
    Unten rechts KachelX + 1 7699 KachelY + 1 1565 2.76346639 1.28569521 158.334961 73.664909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28591085-1.28569521) × R
    0.000215639999999961 × 6371000     		dl = 1373.84243999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28591085-1.28569521) × R
    0.000215639999999961 × 6371000     		dr = 1373.84243999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76269940-2.76346639) × cos(1.28591085) × R
    0.000766990000000245 × 0.281047545923488 × 6371000     		do = 1373.33694732653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76269940-2.76346639) × cos(1.28569521) × R
    0.000766990000000245 × 0.281254487768268 × 6371000     		du = 1374.34816726247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28591085)-sin(1.28569521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281047545923488-0.281254487768268)×R²
    abs(2.76346639-2.76269940)×0.00020694184478065×R²
    0.000766990000000245×0.00020694184478065×6371000²
    0.000766990000000245×0.00020694184478065×40589641000000     		ar = 1887443.21840066m²