Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76979 / 58807
↖ ↑ ↗
← N 18.169340°
E 31.429138°		 ← 290.20 m → N 18.169340°
E 31.431885°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.166730°
E 31.429138°		 ← 290.20 m →
84 216 m²		 N 18.166730°
E 31.431885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587306976318359 y=0.448665618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587306976318359 × 217)
    floor (0.587306976318359 × 131072)
    floor (76979.5)     		tx = 76979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448665618896484 × 217)
    floor (0.448665618896484 × 131072)
    floor (58807.5)     		ty = 58807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76979 / 58807 ti = "17/76979/58807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76979/58807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76979 ÷ 217
    76979 ÷ 131072     		x = 0.587303161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58807 ÷ 217
    58807 ÷ 131072     		y = 0.448661804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587303161621094 × 2 - 1) × π
    0.174606323242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.54854194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448661804199219 × 2 - 1) × π
    0.102676391601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.322567397543358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54854194} λ = 0.54854194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322567397543358))-π/2
    2×atan(1.38066794135129)-π/2
    2×0.943955566913707-π/2
    1.88791113382741-1.57079632675     		φ = 0.31711481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54854194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.429138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31711481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.169340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76979 KachelY 58807 0.54854194 0.31711481 31.429138 18.169340
    Oben rechts KachelX + 1 76980 KachelY 58807 0.54858988 0.31711481 31.431885 18.169340
    Unten links KachelX 76979 KachelY + 1 58808 0.54854194 0.31706926 31.429138 18.166730
    Unten rechts KachelX + 1 76980 KachelY + 1 58808 0.54858988 0.31706926 31.431885 18.166730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31711481-0.31706926) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31711481-0.31706926) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54854194-0.54858988) × cos(0.31711481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950139050250714 × 6371000     		do = 290.196922525531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54854194-0.54858988) × cos(0.31706926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950153252963502 × 6371000     		du = 290.201260399595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31711481)-sin(0.31706926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950139050250714-0.950153252963502)×R²
    abs(0.54858988-0.54854194)×1.42027127887356e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42027127887356e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42027127887356e-05×40589641000000     		ar = 84215.500667874m²