Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76960 / 59488
↖ ↑ ↗
← N 16.383391°
E 31.376953°		 ← 293.02 m → N 16.383391°
E 31.379700°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
N 16.380756°
E 31.376953°		 ← 293.03 m →
85 857 m²		 N 16.380756°
E 31.379700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587162017822266 y=0.453861236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587162017822266 × 217)
    floor (0.587162017822266 × 131072)
    floor (76960.5)     		tx = 76960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453861236572266 × 217)
    floor (0.453861236572266 × 131072)
    floor (59488.5)     		ty = 59488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76960 / 59488 ti = "17/76960/59488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76960/59488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76960 ÷ 217
    76960 ÷ 131072     		x = 0.587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59488 ÷ 217
    59488 ÷ 131072     		y = 0.453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.2899223689021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54763114} λ = 0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2899223689021))-π/2
    2×atan(1.33632374371926)-π/2
    2×0.928370222267963-π/2
    1.85674044453593-1.57079632675     		φ = 0.28594412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28594412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.383391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76960 KachelY 59488 0.54763114 0.28594412 31.376953 16.383391
    Oben rechts KachelX + 1 76961 KachelY 59488 0.54767908 0.28594412 31.379700 16.383391
    Unten links KachelX 76960 KachelY + 1 59489 0.54763114 0.28589813 31.376953 16.380756
    Unten rechts KachelX + 1 76961 KachelY + 1 59489 0.54767908 0.28589813 31.379700 16.380756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28594412-0.28589813) × R
    4.59900000000513e-05 × 6371000     		dl = 293.002290000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28594412-0.28589813) × R
    4.59900000000513e-05 × 6371000     		dr = 293.002290000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54763114-0.54767908) × cos(0.28594412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95939577862071 × 6371000     		do = 293.024165637914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54763114-0.54767908) × cos(0.28589813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959408749700107 × 6371000     		du = 293.028127339438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28594412)-sin(0.28589813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95939577862071-0.959408749700107)×R²
    abs(0.54767908-0.54763114)×1.29710793965732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29710793965732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29710793965732e-05×40589641000000     		ar = 85857.3319662739m²