Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7696 / 4319
↖ ↑ ↗
← N 64.482261°
W 10.898438°		 ← 1 052.54 m → N 64.482261°
W 10.876465°		 →
↑
1 052.68 m
↓
↑
1 052.68 m
↓
N 64.472794°
W 10.898438°		 ← 1 052.91 m →
1 108 181 m²		 N 64.472794°
W 10.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469757080078125 y=0.263641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469757080078125 × 214)
    floor (0.469757080078125 × 16384)
    floor (7696.5)     		tx = 7696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263641357421875 × 214)
    floor (0.263641357421875 × 16384)
    floor (4319.5)     		ty = 4319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7696 / 4319 ti = "14/7696/4319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7696/4319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7696 ÷ 214
    7696 ÷ 16384     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4319 ÷ 214
    4319 ÷ 16384     		y = 0.26361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26361083984375 × 2 - 1) × π
    0.4727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48527689782782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48527689782782))-π/2
    2×atan(4.41618807637991)-π/2
    2×1.34811204579087-π/2
    2.69622409158174-1.57079632675     		φ = 1.12542776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12542776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.482261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7696 KachelY 4319 -0.19021362 1.12542776 -10.898438 64.482261
    Oben rechts KachelX + 1 7697 KachelY 4319 -0.18983012 1.12542776 -10.876465 64.482261
    Unten links KachelX 7696 KachelY + 1 4320 -0.19021362 1.12526253 -10.898438 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 7697 KachelY + 1 4320 -0.18983012 1.12526253 -10.876465 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12542776-1.12526253) × R
    0.000165229999999905 × 6371000     		dl = 1052.6803299994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12542776-1.12526253) × R
    0.000165229999999905 × 6371000     		dr = 1052.6803299994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18983012) × cos(1.12542776) × R
    0.000383500000000009 × 0.430790523376344 × 6371000     		do = 1052.54122376919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18983012) × cos(1.12526253) × R
    0.000383500000000009 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 1052.90553187574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12542776)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430790523376344-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.18983012--0.19021362)×0.000149106254790476×R²
    0.000383500000000009×0.000149106254790476×6371000²
    0.000383500000000009×0.000149106254790476×40589641000000     		ar = 1108181.19528541m²