Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76958 / 59487
↖ ↑ ↗
← N 16.386026°
E 31.371460°		 ← 292.96 m → N 16.386026°
E 31.374206°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
N 16.383391°
E 31.371460°		 ← 292.96 m →
85 838 m²		 N 16.383391°
E 31.374206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587146759033203 y=0.453853607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587146759033203 × 217)
    floor (0.587146759033203 × 131072)
    floor (76958.5)     		tx = 76958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453853607177734 × 217)
    floor (0.453853607177734 × 131072)
    floor (59487.5)     		ty = 59487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76958 / 59487 ti = "17/76958/59487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76958/59487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76958 ÷ 217
    76958 ÷ 131072     		x = 0.587142944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59487 ÷ 217
    59487 ÷ 131072     		y = 0.453849792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587142944335938 × 2 - 1) × π
    0.174285888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54753527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453849792480469 × 2 - 1) × π
    0.0923004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.28997030580172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54753527} λ = 0.54753527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28997030580172))-π/2
    2×atan(1.33638780447184)-π/2
    2×0.928393217342077-π/2
    1.85678643468415-1.57079632675     		φ = 0.28599011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54753527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.371460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28599011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.386026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76958 KachelY 59487 0.54753527 0.28599011 31.371460 16.386026
    Oben rechts KachelX + 1 76959 KachelY 59487 0.54758320 0.28599011 31.374206 16.386026
    Unten links KachelX 76958 KachelY + 1 59488 0.54753527 0.28594412 31.371460 16.383391
    Unten rechts KachelX + 1 76959 KachelY + 1 59488 0.54758320 0.28594412 31.374206 16.383391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28599011-0.28594412) × R
    4.59899999999958e-05 × 6371000     		dl = 293.002289999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28599011-0.28594412) × R
    4.59899999999958e-05 × 6371000     		dr = 293.002289999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54753527-0.54758320) × cos(0.28599011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.959382805512115 × 6371000     		do = 292.959081038454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54753527-0.54758320) × cos(0.28594412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95939577862071 × 6371000     		du = 292.96304253323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28599011)-sin(0.28594412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959382805512115-0.95939577862071)×R²
    abs(0.54758320-0.54753527)×1.29731085954932e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29731085954932e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29731085954932e-05×40589641000000     		ar = 85838.2619991678m²