Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76958 / 58918
↖ ↑ ↗
← N 17.879432°
E 31.371460°		 ← 290.61 m → N 17.879432°
E 31.374206°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 17.876817°
E 31.371460°		 ← 290.62 m →
84 485 m²		 N 17.876817°
E 31.374206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587146759033203 y=0.449512481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587146759033203 × 217)
    floor (0.587146759033203 × 131072)
    floor (76958.5)     		tx = 76958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449512481689453 × 217)
    floor (0.449512481689453 × 131072)
    floor (58918.5)     		ty = 58918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76958 / 58918 ti = "17/76958/58918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76958/58918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76958 ÷ 217
    76958 ÷ 131072     		x = 0.587142944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58918 ÷ 217
    58918 ÷ 131072     		y = 0.449508666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587142944335938 × 2 - 1) × π
    0.174285888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54753527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449508666992188 × 2 - 1) × π
    0.100982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.317246401685532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54753527} λ = 0.54753527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317246401685532))-π/2
    2×atan(1.37334092375694)-π/2
    2×0.941425636432907-π/2
    1.88285127286581-1.57079632675     		φ = 0.31205495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54753527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.371460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31205495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.879432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76958 KachelY 58918 0.54753527 0.31205495 31.371460 17.879432
    Oben rechts KachelX + 1 76959 KachelY 58918 0.54758320 0.31205495 31.374206 17.879432
    Unten links KachelX 76958 KachelY + 1 58919 0.54753527 0.31200932 31.371460 17.876817
    Unten rechts KachelX + 1 76959 KachelY + 1 58919 0.54758320 0.31200932 31.374206 17.876817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31205495-0.31200932) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31205495-0.31200932) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54753527-0.54758320) × cos(0.31205495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951704679316276 × 6371000     		do = 290.614472836695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54753527-0.54758320) × cos(0.31200932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951718687419441 × 6371000     		du = 290.618750379514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31205495)-sin(0.31200932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951704679316276-0.951718687419441)×R²
    abs(0.54758320-0.54753527)×1.40081031648753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40081031648753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40081031648753e-05×40589641000000     		ar = 84484.7860922436m²