Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76957 / 58909
↖ ↑ ↗
← N 17.902955°
E 31.368713°		 ← 290.64 m → N 17.902955°
E 31.371460°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 17.900342°
E 31.368713°		 ← 290.64 m →
84 454 m²		 N 17.900342°
E 31.371460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587139129638672 y=0.449443817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587139129638672 × 217)
    floor (0.587139129638672 × 131072)
    floor (76957.5)     		tx = 76957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449443817138672 × 217)
    floor (0.449443817138672 × 131072)
    floor (58909.5)     		ty = 58909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76957 / 58909 ti = "17/76957/58909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76957/58909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76957 ÷ 217
    76957 ÷ 131072     		x = 0.587135314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58909 ÷ 217
    58909 ÷ 131072     		y = 0.449440002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587135314941406 × 2 - 1) × π
    0.174270629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.54748733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449440002441406 × 2 - 1) × π
    0.101119995117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.317677833782112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54748733} λ = 0.54748733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317677833782112))-π/2
    2×atan(1.37393355494186)-π/2
    2×0.941630920804075-π/2
    1.88326184160815-1.57079632675     		φ = 0.31246551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54748733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.368713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31246551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.902955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76957 KachelY 58909 0.54748733 0.31246551 31.368713 17.902955
    Oben rechts KachelX + 1 76958 KachelY 58909 0.54753527 0.31246551 31.371460 17.902955
    Unten links KachelX 76957 KachelY + 1 58910 0.54748733 0.31241990 31.368713 17.900342
    Unten rechts KachelX + 1 76958 KachelY + 1 58910 0.54753527 0.31241990 31.371460 17.900342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31246551-0.31241990) × R
    4.56100000000292e-05 × 6371000     		dl = 290.581310000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31246551-0.31241990) × R
    4.56100000000292e-05 × 6371000     		dr = 290.581310000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54748733-0.54753527) × cos(0.31246551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951578551036564 × 6371000     		do = 290.63658311828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54748733-0.54753527) × cos(0.31241990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951592570820529 × 6371000     		du = 290.640865121172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31246551)-sin(0.31241990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951578551036564-0.951592570820529)×R²
    abs(0.54753527-0.54748733)×1.40197839647582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40197839647582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40197839647582e-05×40589641000000     		ar = 84454.1812061315m²