Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7695 / 4320
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 10.920410°		 ← 1 052.88 m → N 64.472794°
W 10.898438°		 →
↑
1 053.06 m
↓
↑
1 053.06 m
↓
N 64.463323°
W 10.920410°		 ← 1 053.24 m →
1 108 938 m²		 N 64.463323°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469696044921875 y=0.263702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469696044921875 × 214)
    floor (0.469696044921875 × 16384)
    floor (7695.5)     		tx = 7695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263702392578125 × 214)
    floor (0.263702392578125 × 16384)
    floor (4320.5)     		ty = 4320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7695 / 4320 ti = "14/7695/4320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7695/4320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7695 ÷ 214
    7695 ÷ 16384     		x = 0.46966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4320 ÷ 214
    4320 ÷ 16384     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.0606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19059711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19059711} λ = -0.19059711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19059711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7695 KachelY 4320 -0.19059711 1.12526253 -10.920410 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 7696 KachelY 4320 -0.19021362 1.12526253 -10.898438 64.472794
    Unten links KachelX 7695 KachelY + 1 4321 -0.19059711 1.12509724 -10.920410 64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 7696 KachelY + 1 4321 -0.19021362 1.12509724 -10.898438 64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12509724) × R
    0.000165289999999985 × 6371000     		dl = 1053.0625899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12509724) × R
    0.000165289999999985 × 6371000     		dr = 1053.0625899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19059711--0.19021362) × cos(1.12526253) × R
    0.000383489999999986 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 1052.87807671187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19059711--0.19021362) × cos(1.12509724) × R
    0.000383489999999986 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 1053.24247884644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.431088778259434)×R²
    abs(-0.19021362--0.19059711)×0.0001491486282999×R²
    0.000383489999999986×0.0001491486282999×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001491486282999×40589641000000     		ar = 1108938.38606906m²