Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7695 / 1565
↖ ↑ ↗
← N 73.664909°
E158.159180°		 ← 1 374.35 m → N 73.664909°
E158.203125°		 →
↑
1 374.86 m
↓
↑
1 374.86 m
↓
N 73.652545°
E158.159180°		 ← 1 375.36 m →
1 890 234 m²		 N 73.652545°
E158.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93939208984375 y=0.19110107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93939208984375 × 213)
    floor (0.93939208984375 × 8192)
    floor (7695.5)     		tx = 7695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19110107421875 × 213)
    floor (0.19110107421875 × 8192)
    floor (1565.5)     		ty = 1565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7695 / 1565 ti = "13/7695/1565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7695/1565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7695 ÷ 213
    7695 ÷ 8192     		x = 0.9393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1565 ÷ 213
    1565 ÷ 8192     		y = 0.1910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9393310546875 × 2 - 1) × π
    0.878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76039843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1910400390625 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94125268701379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76039843} λ = 2.76039843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94125268701379))-π/2
    2×atan(6.96747356981313)-π/2
    2×1.42824576781659-π/2
    2.85649153563317-1.57079632675     		φ = 1.28569521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76039843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28569521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.664909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7695 KachelY 1565 2.76039843 1.28569521 158.159180 73.664909
    Oben rechts KachelX + 1 7696 KachelY 1565 2.76116542 1.28569521 158.203125 73.664909
    Unten links KachelX 7695 KachelY + 1 1566 2.76039843 1.28547941 158.159180 73.652545
    Unten rechts KachelX + 1 7696 KachelY + 1 1566 2.76116542 1.28547941 158.203125 73.652545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28569521-1.28547941) × R
    0.000215800000000099 × 6371000     		dl = 1374.86180000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28569521-1.28547941) × R
    0.000215800000000099 × 6371000     		dr = 1374.86180000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76039843-2.76116542) × cos(1.28569521) × R
    0.000766990000000245 × 0.281254487768268 × 6371000     		do = 1374.34816726247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76039843-2.76116542) × cos(1.28547941) × R
    0.000766990000000245 × 0.281461570066148 × 6371000     		du = 1375.36007352154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28569521)-sin(1.28547941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281254487768268-0.281461570066148)×R²
    abs(2.76116542-2.76039843)×0.000207082297879413×R²
    0.000766990000000245×0.000207082297879413×6371000²
    0.000766990000000245×0.000207082297879413×40589641000000     		ar = 1890234.4180371m²