Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76942 / 58371
↖ ↑ ↗
← N 19.303367°
E 31.327515°		 ← 288.20 m → N 19.303367°
E 31.330261°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.300775°
E 31.327515°		 ← 288.20 m →
83 065 m²		 N 19.300775°
E 31.330261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587024688720703 y=0.445339202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587024688720703 × 217)
    floor (0.587024688720703 × 131072)
    floor (76942.5)     		tx = 76942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445339202880859 × 217)
    floor (0.445339202880859 × 131072)
    floor (58371.5)     		ty = 58371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76942 / 58371 ti = "17/76942/58371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76942/58371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76942 ÷ 217
    76942 ÷ 131072     		x = 0.587020874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58371 ÷ 217
    58371 ÷ 131072     		y = 0.445335388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587020874023438 × 2 - 1) × π
    0.174041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54676828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445335388183594 × 2 - 1) × π
    0.109329223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.343467885777702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54676828} λ = 0.54676828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343467885777702))-π/2
    2×atan(1.40982824621817)-π/2
    2×0.953851819000842-π/2
    1.90770363800168-1.57079632675     		φ = 0.33690731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54676828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.327515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33690731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.303367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76942 KachelY 58371 0.54676828 0.33690731 31.327515 19.303367
    Oben rechts KachelX + 1 76943 KachelY 58371 0.54681621 0.33690731 31.330261 19.303367
    Unten links KachelX 76942 KachelY + 1 58372 0.54676828 0.33686207 31.327515 19.300775
    Unten rechts KachelX + 1 76943 KachelY + 1 58372 0.54681621 0.33686207 31.330261 19.300775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33690731-0.33686207) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33690731-0.33686207) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54676828-0.54681621) × cos(0.33690731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943781527485208 × 6371000     		do = 288.19504310956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54676828-0.54681621) × cos(0.33686207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943796481499599 × 6371000     		du = 288.199609497751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33690731)-sin(0.33686207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943781527485208-0.943796481499599)×R²
    abs(0.54681621-0.54676828)×1.49540143913329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49540143913329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49540143913329e-05×40589641000000     		ar = 83065.3977186614m²