Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76932 / 59524
↖ ↑ ↗
← N 16.288506°
E 31.300049°		 ← 293.11 m → N 16.288506°
E 31.302795°		 →
↑
293.13 m
↓
↑
293.13 m
↓
N 16.285870°
E 31.300049°		 ← 293.11 m →
85 918 m²		 N 16.285870°
E 31.302795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586948394775391 y=0.454135894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586948394775391 × 217)
    floor (0.586948394775391 × 131072)
    floor (76932.5)     		tx = 76932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454135894775391 × 217)
    floor (0.454135894775391 × 131072)
    floor (59524.5)     		ty = 59524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76932 / 59524 ti = "17/76932/59524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76932/59524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76932 ÷ 217
    76932 ÷ 131072     		x = 0.586944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59524 ÷ 217
    59524 ÷ 131072     		y = 0.454132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586944580078125 × 2 - 1) × π
    0.17388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54628891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454132080078125 × 2 - 1) × π
    0.09173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.288196640515778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54628891} λ = 0.54628891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288196640515778))-π/2
    2×atan(1.3340196006358)-π/2
    2×0.927542192869906-π/2
    1.85508438573981-1.57079632675     		φ = 0.28428806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54628891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.300049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28428806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.288506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76932 KachelY 59524 0.54628891 0.28428806 31.300049 16.288506
    Oben rechts KachelX + 1 76933 KachelY 59524 0.54633684 0.28428806 31.302795 16.288506
    Unten links KachelX 76932 KachelY + 1 59525 0.54628891 0.28424205 31.300049 16.285870
    Unten rechts KachelX + 1 76933 KachelY + 1 59525 0.54633684 0.28424205 31.302795 16.285870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28428806-0.28424205) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dl = 293.129709999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28428806-0.28424205) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dr = 293.129709999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54628891-0.54633684) × cos(0.28428806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.959861576670014 × 6371000     		do = 293.105279571135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54628891-0.54633684) × cos(0.28424205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95987448027007 × 6371000     		du = 293.109219840643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28428806)-sin(0.28424205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959861576670014-0.95987448027007)×R²
    abs(0.54633684-0.54628891)×1.29036000566796e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29036000566796e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29036000566796e-05×40589641000000     		ar = 85918.4431203214m²