Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76932 / 57740
↖ ↑ ↗
← N 20.930659°
E 31.300049°		 ← 285.21 m → N 20.930659°
E 31.302795°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.928093°
E 31.300049°		 ← 285.22 m →
81 370 m²		 N 20.928093°
E 31.302795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586948394775391 y=0.440525054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586948394775391 × 217)
    floor (0.586948394775391 × 131072)
    floor (76932.5)     		tx = 76932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440525054931641 × 217)
    floor (0.440525054931641 × 131072)
    floor (57740.5)     		ty = 57740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76932 / 57740 ti = "17/76932/57740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76932/57740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76932 ÷ 217
    76932 ÷ 131072     		x = 0.586944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57740 ÷ 217
    57740 ÷ 131072     		y = 0.440521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586944580078125 × 2 - 1) × π
    0.17388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54628891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440521240234375 × 2 - 1) × π
    0.11895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373716069437958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54628891} λ = 0.54628891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373716069437958))-π/2
    2×atan(1.45312450542081)-π/2
    2×0.968052617363662-π/2
    1.93610523472732-1.57079632675     		φ = 0.36530891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54628891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.300049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36530891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.930659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76932 KachelY 57740 0.54628891 0.36530891 31.300049 20.930659
    Oben rechts KachelX + 1 76933 KachelY 57740 0.54633684 0.36530891 31.302795 20.930659
    Unten links KachelX 76932 KachelY + 1 57741 0.54628891 0.36526413 31.300049 20.928093
    Unten rechts KachelX + 1 76933 KachelY + 1 57741 0.54633684 0.36526413 31.302795 20.928093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36530891-0.36526413) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36530891-0.36526413) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54628891-0.54633684) × cos(0.36530891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934013451390309 × 6371000     		do = 285.212243564026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54628891-0.54633684) × cos(0.36526413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934029447564207 × 6371000     		du = 285.21712818816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36530891)-sin(0.36526413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934013451390309-0.934029447564207)×R²
    abs(0.54633684-0.54628891)×1.59961738984693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59961738984693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59961738984693e-05×40589641000000     		ar = 81369.8617728008m²