Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76931 / 58378
↖ ↑ ↗
← N 19.285221°
E 31.297302°		 ← 288.29 m → N 19.285221°
E 31.300049°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 19.282628°
E 31.297302°		 ← 288.29 m →
83 110 m²		 N 19.282628°
E 31.300049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586940765380859 y=0.445392608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586940765380859 × 217)
    floor (0.586940765380859 × 131072)
    floor (76931.5)     		tx = 76931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445392608642578 × 217)
    floor (0.445392608642578 × 131072)
    floor (58378.5)     		ty = 58378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76931 / 58378 ti = "17/76931/58378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76931/58378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76931 ÷ 217
    76931 ÷ 131072     		x = 0.586936950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58378 ÷ 217
    58378 ÷ 131072     		y = 0.445388793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586936950683594 × 2 - 1) × π
    0.173873901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.54624097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    0.109222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343132327480362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54624097} λ = 0.54624097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343132327480362))-π/2
    2×atan(1.40935524601633)-π/2
    2×0.95369346335967-π/2
    1.90738692671934-1.57079632675     		φ = 0.33659060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54624097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.297302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33659060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.285221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76931 KachelY 58378 0.54624097 0.33659060 31.297302 19.285221
    Oben rechts KachelX + 1 76932 KachelY 58378 0.54628891 0.33659060 31.300049 19.285221
    Unten links KachelX 76931 KachelY + 1 58379 0.54624097 0.33654535 31.297302 19.282628
    Unten rechts KachelX + 1 76932 KachelY + 1 58379 0.54628891 0.33654535 31.300049 19.282628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33659060-0.33654535) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33659060-0.33654535) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54624097-0.54628891) × cos(0.33659060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943886174928811 × 6371000     		do = 288.287133453213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54624097-0.54628891) × cos(0.33654535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943901118722164 × 6371000     		du = 288.291697672356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33659060)-sin(0.33654535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943886174928811-0.943901118722164)×R²
    abs(0.54628891-0.54624097)×1.49437933523178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49437933523178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49437933523178e-05×40589641000000     		ar = 83110.3069755779m²