Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7693 / 9625
↖ ↑ ↗
← S 30.012031°
W 10.964355°		 ← 2 115.63 m → S 30.012031°
W 10.942383°		 →
↑
2 115.43 m
↓
↑
2 115.43 m
↓
S 30.031055°
W 10.964355°		 ← 2 115.22 m →
4 475 030 m²		 S 30.031055°
W 10.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469573974609375 y=0.587493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469573974609375 × 214)
    floor (0.469573974609375 × 16384)
    floor (7693.5)     		tx = 7693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587493896484375 × 214)
    floor (0.587493896484375 × 16384)
    floor (9625.5)     		ty = 9625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7693 / 9625 ti = "14/7693/9625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7693/9625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7693 ÷ 214
    7693 ÷ 16384     		x = 0.46954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9625 ÷ 214
    9625 ÷ 16384     		y = 0.58746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19136410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.1749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.549548617244324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19136410} λ = -0.19136410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549548617244324))-π/2
    2×atan(0.577210294360349)-π/2
    2×0.523493788113343-π/2
    1.04698757622669-1.57079632675     		φ = -0.52380875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19136410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52380875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.012031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7693 KachelY 9625 -0.19136410 -0.52380875 -10.964355 -30.012031
    Oben rechts KachelX + 1 7694 KachelY 9625 -0.19098061 -0.52380875 -10.942383 -30.012031
    Unten links KachelX 7693 KachelY + 1 9626 -0.19136410 -0.52414079 -10.964355 -30.031055
    Unten rechts KachelX + 1 7694 KachelY + 1 9626 -0.19098061 -0.52414079 -10.942383 -30.031055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52380875--0.52414079) × R
    0.000332039999999978 × 6371000     		dl = 2115.42683999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52380875--0.52414079) × R
    0.000332039999999978 × 6371000     		dr = 2115.42683999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19136410--0.19098061) × cos(-0.52380875) × R
    0.000383490000000014 × 0.865920397493155 × 6371000     		do = 2115.62952211803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19136410--0.19098061) × cos(-0.52414079) × R
    0.000383490000000014 × 0.865754269386557 × 6371000     		du = 2115.22363547096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52380875)-sin(-0.52414079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865920397493155-0.865754269386557)×R²
    abs(-0.19098061--0.19136410)×0.000166128106597441×R²
    0.000383490000000014×0.000166128106597441×6371000²
    0.000383490000000014×0.000166128106597441×40589641000000     		ar = 4475030.20394572m²