Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7693 / 4320
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 10.964355°		 ← 1 052.88 m → N 64.472794°
W 10.942383°		 →
↑
1 053.06 m
↓
↑
1 053.06 m
↓
N 64.463323°
W 10.964355°		 ← 1 053.24 m →
1 108 938 m²		 N 64.463323°
W 10.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469573974609375 y=0.263702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469573974609375 × 214)
    floor (0.469573974609375 × 16384)
    floor (7693.5)     		tx = 7693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263702392578125 × 214)
    floor (0.263702392578125 × 16384)
    floor (4320.5)     		ty = 4320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7693 / 4320 ti = "14/7693/4320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7693/4320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7693 ÷ 214
    7693 ÷ 16384     		x = 0.46954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4320 ÷ 214
    4320 ÷ 16384     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19136410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19136410} λ = -0.19136410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19136410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7693 KachelY 4320 -0.19136410 1.12526253 -10.964355 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 7694 KachelY 4320 -0.19098061 1.12526253 -10.942383 64.472794
    Unten links KachelX 7693 KachelY + 1 4321 -0.19136410 1.12509724 -10.964355 64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 7694 KachelY + 1 4321 -0.19098061 1.12509724 -10.942383 64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12509724) × R
    0.000165289999999985 × 6371000     		dl = 1053.0625899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12509724) × R
    0.000165289999999985 × 6371000     		dr = 1053.0625899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19136410--0.19098061) × cos(1.12526253) × R
    0.000383490000000014 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 1052.87807671195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19136410--0.19098061) × cos(1.12509724) × R
    0.000383490000000014 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 1053.24247884652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.431088778259434)×R²
    abs(-0.19098061--0.19136410)×0.0001491486282999×R²
    0.000383490000000014×0.0001491486282999×6371000²
    0.000383490000000014×0.0001491486282999×40589641000000     		ar = 1108938.38606914m²