Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7693 / 3593
↖ ↑ ↗
← N 80.161833°
W 95.482178°		 ← 208.74 m → N 80.161833°
W 95.471191°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 80.159956°
W 95.482178°		 ← 208.78 m →
43 570 m²		 N 80.159956°
W 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234786987304688 y=0.109664916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234786987304688 × 215)
    floor (0.234786987304688 × 32768)
    floor (7693.5)     		tx = 7693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109664916992188 × 215)
    floor (0.109664916992188 × 32768)
    floor (3593.5)     		ty = 3593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7693 / 3593 ti = "15/7693/3593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7693/3593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7693 ÷ 215
    7693 ÷ 32768     		x = 0.234771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3593 ÷ 215
    3593 ÷ 32768     		y = 0.109649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66647838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109649658203125 × 2 - 1) × π
    0.78070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45264353216055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66647838} λ = -1.66647838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45264353216055))-π/2
    2×atan(11.61902141337)-π/2
    2×1.48494212488046-π/2
    2.96988424976093-1.57079632675     		φ = 1.39908792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66647838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39908792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.161833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7693 KachelY 3593 -1.66647838 1.39908792 -95.482178 80.161833
    Oben rechts KachelX + 1 7694 KachelY 3593 -1.66628663 1.39908792 -95.471191 80.161833
    Unten links KachelX 7693 KachelY + 1 3594 -1.66647838 1.39905516 -95.482178 80.159956
    Unten rechts KachelX + 1 7694 KachelY + 1 3594 -1.66628663 1.39905516 -95.471191 80.159956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39908792-1.39905516) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dl = 208.71395999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39908792-1.39905516) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dr = 208.71395999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66647838--1.66628663) × cos(1.39908792) × R
    0.000191749999999935 × 0.170865881068378 × 6371000     		do = 208.736466798892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66647838--1.66628663) × cos(1.39905516) × R
    0.000191749999999935 × 0.170898159217837 × 6371000     		du = 208.775899053189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39908792)-sin(1.39905516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170865881068378-0.170898159217837)×R²
    abs(-1.66628663--1.66647838)×3.22781494588031e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22781494588031e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22781494588031e-05×40589641000000     		ar = 43570.3296165916m²