Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7693 / 3589
↖ ↑ ↗
← N 80.169339°
W 95.482178°		 ← 208.58 m → N 80.169339°
W 95.471191°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 80.167463°
W 95.482178°		 ← 208.62 m →
43 524 m²		 N 80.167463°
W 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234786987304688 y=0.109542846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234786987304688 × 215)
    floor (0.234786987304688 × 32768)
    floor (7693.5)     		tx = 7693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109542846679688 × 215)
    floor (0.109542846679688 × 32768)
    floor (3589.5)     		ty = 3589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7693 / 3589 ti = "15/7693/3589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7693/3589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7693 ÷ 215
    7693 ÷ 32768     		x = 0.234771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3589 ÷ 215
    3589 ÷ 32768     		y = 0.109527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66647838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109527587890625 × 2 - 1) × π
    0.78094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45341052255447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66647838} λ = -1.66647838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45341052255447))-π/2
    2×atan(11.6279365096403)-π/2
    2×1.48500762637065-π/2
    2.97001525274129-1.57079632675     		φ = 1.39921893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66647838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39921893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.169339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7693 KachelY 3589 -1.66647838 1.39921893 -95.482178 80.169339
    Oben rechts KachelX + 1 7694 KachelY 3589 -1.66628663 1.39921893 -95.471191 80.169339
    Unten links KachelX 7693 KachelY + 1 3590 -1.66647838 1.39918618 -95.482178 80.167463
    Unten rechts KachelX + 1 7694 KachelY + 1 3590 -1.66628663 1.39918618 -95.471191 80.167463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39921893-1.39918618) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dl = 208.650249999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39921893-1.39918618) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dr = 208.650249999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66647838--1.66628663) × cos(1.39921893) × R
    0.000191749999999935 × 0.170736796196627 × 6371000     		do = 208.578771652979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66647838--1.66628663) × cos(1.39918618) × R
    0.000191749999999935 × 0.170769065226104 × 6371000     		du = 208.618192765948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39921893)-sin(1.39918618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170736796196627-0.170769065226104)×R²
    abs(-1.66628663--1.66647838)×3.22690294775052e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22690294775052e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22690294775052e-05×40589641000000     		ar = 43524.1254664011m²