Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76929 / 61824
↖ ↑ ↗
← N 10.141932°
E 31.291809°		 ← 300.59 m → N 10.141932°
E 31.294555°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.139228°
E 31.291809°		 ← 300.59 m →
90 372 m²		 N 10.139228°
E 31.294555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586925506591797 y=0.471683502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586925506591797 × 217)
    floor (0.586925506591797 × 131072)
    floor (76929.5)     		tx = 76929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471683502197266 × 217)
    floor (0.471683502197266 × 131072)
    floor (61824.5)     		ty = 61824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76929 / 61824 ti = "17/76929/61824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76929/61824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76929 ÷ 217
    76929 ÷ 131072     		x = 0.586921691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61824 ÷ 217
    61824 ÷ 131072     		y = 0.4716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586921691894531 × 2 - 1) × π
    0.173843383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.54614510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54614510} λ = 0.54614510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177941771389648))-π/2
    2×atan(1.19475575024226)-π/2
    2×0.873903213612608-π/2
    1.74780642722522-1.57079632675     		φ = 0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54614510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.291809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76929 KachelY 61824 0.54614510 0.17701010 31.291809 10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 76930 KachelY 61824 0.54619303 0.17701010 31.294555 10.141932
    Unten links KachelX 76929 KachelY + 1 61825 0.54614510 0.17696291 31.291809 10.139228
    Unten rechts KachelX + 1 76930 KachelY + 1 61825 0.54619303 0.17696291 31.294555 10.139228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17701010-0.17696291) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17701010-0.17696291) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54614510-0.54619303) × cos(0.17701010) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 300.590618495501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54614510-0.54619303) × cos(0.17696291) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984382883437254 × 6371000     		du = 300.593155583141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17701010)-sin(0.17696291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984382883437254)×R²
    abs(0.54619303-0.54614510)×8.30845812849201e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.30845812849201e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.30845812849201e-06×40589641000000     		ar = 90372.1963694887m²