Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76928 / 59008
↖ ↑ ↗
← N 17.644022°
E 31.289062°		 ← 291.06 m → N 17.644022°
E 31.291809°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.641405°
E 31.289062°		 ← 291.06 m →
84 706 m²		 N 17.641405°
E 31.291809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586917877197266 y=0.450199127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586917877197266 × 217)
    floor (0.586917877197266 × 131072)
    floor (76928.5)     		tx = 76928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450199127197266 × 217)
    floor (0.450199127197266 × 131072)
    floor (59008.5)     		ty = 59008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76928 / 59008 ti = "17/76928/59008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76928/59008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76928 ÷ 217
    76928 ÷ 131072     		x = 0.5869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59008 ÷ 217
    59008 ÷ 131072     		y = 0.4501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    0.099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312932080719727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54609716} λ = 0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312932080719727))-π/2
    2×atan(1.3674286531036)-π/2
    2×0.939371302233579-π/2
    1.87874260446716-1.57079632675     		φ = 0.30794628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30794628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.644022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76928 KachelY 59008 0.54609716 0.30794628 31.289062 17.644022
    Oben rechts KachelX + 1 76929 KachelY 59008 0.54614510 0.30794628 31.291809 17.644022
    Unten links KachelX 76928 KachelY + 1 59009 0.54609716 0.30790060 31.289062 17.641405
    Unten rechts KachelX + 1 76929 KachelY + 1 59009 0.54614510 0.30790060 31.291809 17.641405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30794628-0.30790060) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dl = 291.027279999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30794628-0.30790060) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dr = 291.027279999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54609716-0.54614510) × cos(0.30794628) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952958066108848 × 6371000     		do = 291.057922530747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54609716-0.54614510) × cos(0.30790060) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952971910821626 × 6371000     		du = 291.062151062392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30794628)-sin(0.30790060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952958066108848-0.952971910821626)×R²
    abs(0.54614510-0.54609716)×1.38447127779884e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.38447127779884e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.38447127779884e-05×40589641000000     		ar = 84706.4108403011m²