Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7692 / 3591
↖ ↑ ↗
← N 80.165587°
W 95.493164°		 ← 208.66 m → N 80.165587°
W 95.482178°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 80.163710°
W 95.493164°		 ← 208.70 m →
43 554 m²		 N 80.163710°
W 95.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234756469726562 y=0.109603881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234756469726562 × 215)
    floor (0.234756469726562 × 32768)
    floor (7692.5)     		tx = 7692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109603881835938 × 215)
    floor (0.109603881835938 × 32768)
    floor (3591.5)     		ty = 3591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7692 / 3591 ti = "15/7692/3591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7692/3591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7692 ÷ 215
    7692 ÷ 32768     		x = 0.2347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3591 ÷ 215
    3591 ÷ 32768     		y = 0.109588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66667013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109588623046875 × 2 - 1) × π
    0.78082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45302702735751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66667013} λ = -1.66667013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45302702735751))-π/2
    2×atan(11.623478106781)-π/2
    2×1.48497488181315-π/2
    2.9699497636263-1.57079632675     		φ = 1.39915344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66667013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39915344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.165587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7692 KachelY 3591 -1.66667013 1.39915344 -95.493164 80.165587
    Oben rechts KachelX + 1 7693 KachelY 3591 -1.66647838 1.39915344 -95.482178 80.165587
    Unten links KachelX 7692 KachelY + 1 3592 -1.66667013 1.39912068 -95.493164 80.163710
    Unten rechts KachelX + 1 7693 KachelY + 1 3592 -1.66647838 1.39912068 -95.482178 80.163710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39915344-1.39912068) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39915344-1.39912068) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66667013--1.66647838) × cos(1.39915344) × R
    0.000191749999999935 × 0.170801324219366 × 6371000     		do = 208.657601618283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66667013--1.66647838) × cos(1.39912068) × R
    0.000191749999999935 × 0.170833602735543 × 6371000     		du = 208.697034320576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39915344)-sin(1.39912068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170801324219366-0.170833602735543)×R²
    abs(-1.66647838--1.66667013)×3.22785161769312e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22785161769312e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22785161769312e-05×40589641000000     		ar = 43553.8693999135m²