Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7691 / 4338
↖ ↑ ↗
← N 64.301822°
W 11.008301°		 ← 1 059.45 m → N 64.301822°
W 10.986328°		 →
↑
1 059.62 m
↓
↑
1 059.62 m
↓
N 64.292293°
W 11.008301°		 ← 1 059.82 m →
1 122 816 m²		 N 64.292293°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469451904296875 y=0.264801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469451904296875 × 214)
    floor (0.469451904296875 × 16384)
    floor (7691.5)     		tx = 7691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264801025390625 × 214)
    floor (0.264801025390625 × 16384)
    floor (4338.5)     		ty = 4338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7691 / 4338 ti = "14/7691/4338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7691/4338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7691 ÷ 214
    7691 ÷ 16384     		x = 0.46942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4338 ÷ 214
    4338 ÷ 16384     		y = 0.2647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19213109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2647705078125 × 2 - 1) × π
    0.470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47799048908557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19213109} λ = -0.19213109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47799048908557))-π/2
    2×atan(4.38412687234013)-π/2
    2×1.34653741906822-π/2
    2.69307483813644-1.57079632675     		φ = 1.12227851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19213109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12227851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.301822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7691 KachelY 4338 -0.19213109 1.12227851 -11.008301 64.301822
    Oben rechts KachelX + 1 7692 KachelY 4338 -0.19174760 1.12227851 -10.986328 64.301822
    Unten links KachelX 7691 KachelY + 1 4339 -0.19213109 1.12211219 -11.008301 64.292293
    Unten rechts KachelX + 1 7692 KachelY + 1 4339 -0.19174760 1.12211219 -10.986328 64.292293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12227851-1.12211219) × R
    0.000166319999999942 × 6371000     		dl = 1059.62471999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12227851-1.12211219) × R
    0.000166319999999942 × 6371000     		dr = 1059.62471999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19213109--0.19174760) × cos(1.12227851) × R
    0.000383490000000014 × 0.433630429247067 × 6371000     		do = 1059.45227813052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19213109--0.19174760) × cos(1.12211219) × R
    0.000383490000000014 × 0.433780292672553 × 6371000     		du = 1059.81842666815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12227851)-sin(1.12211219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433630429247067-0.433780292672553)×R²
    abs(-0.19174760--0.19213109)×0.000149863425485119×R²
    0.000383490000000014×0.000149863425485119×6371000²
    0.000383490000000014×0.000149863425485119×40589641000000     		ar = 1122815.81617585m²