Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7690 / 4233
↖ ↑ ↗
← N 65.284283°
W 11.030274°		 ← 1 021.57 m → N 65.284283°
W 11.008301°		 →
↑
1 021.78 m
↓
↑
1 021.78 m
↓
N 65.275093°
W 11.030274°		 ← 1 021.93 m →
1 044 007 m²		 N 65.275093°
W 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469390869140625 y=0.258392333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469390869140625 × 214)
    floor (0.469390869140625 × 16384)
    floor (7690.5)     		tx = 7690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258392333984375 × 214)
    floor (0.258392333984375 × 16384)
    floor (4233.5)     		ty = 4233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7690 / 4233 ti = "14/7690/4233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7690/4233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7690 ÷ 214
    7690 ÷ 16384     		x = 0.4693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4233 ÷ 214
    4233 ÷ 16384     		y = 0.25836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19251459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25836181640625 × 2 - 1) × π
    0.4832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51825748476642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19251459} λ = -0.19251459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51825748476642))-π/2
    2×atan(4.56426496051748)-π/2
    2×1.35511100114498-π/2
    2.71022200228996-1.57079632675     		φ = 1.13942568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19251459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13942568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.284283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7690 KachelY 4233 -0.19251459 1.13942568 -11.030274 65.284283
    Oben rechts KachelX + 1 7691 KachelY 4233 -0.19213109 1.13942568 -11.008301 65.284283
    Unten links KachelX 7690 KachelY + 1 4234 -0.19251459 1.13926530 -11.030274 65.275093
    Unten rechts KachelX + 1 7691 KachelY + 1 4234 -0.19213109 1.13926530 -11.008301 65.275093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13942568-1.13926530) × R
    0.000160380000000071 × 6371000     		dl = 1021.78098000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13942568-1.13926530) × R
    0.000160380000000071 × 6371000     		dr = 1021.78098000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19251459--0.19213109) × cos(1.13942568) × R
    0.000383500000000009 × 0.418116281448753 × 6371000     		do = 1021.57452096371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19251459--0.19213109) × cos(1.13926530) × R
    0.000383500000000009 × 0.418261964222467 × 6371000     		du = 1021.93046455255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13942568)-sin(1.13926530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418116281448753-0.418261964222467)×R²
    abs(-0.19213109--0.19251459)×0.000145682773714573×R²
    0.000383500000000009×0.000145682773714573×6371000²
    0.000383500000000009×0.000145682773714573×40589641000000     		ar = 1044007.26560685m²