Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7689 / 6662
↖ ↑ ↗
← N 72.375758°
W 95.526123°		 ← 369.88 m → N 72.375758°
W 95.515137°		 →
↑
369.90 m
↓
↑
369.90 m
↓
N 72.372432°
W 95.526123°		 ← 369.95 m →
136 831 m²		 N 72.372432°
W 95.515137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234664916992188 y=0.203323364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234664916992188 × 215)
    floor (0.234664916992188 × 32768)
    floor (7689.5)     		tx = 7689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203323364257812 × 215)
    floor (0.203323364257812 × 32768)
    floor (6662.5)     		ty = 6662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7689 / 6662 ti = "15/7689/6662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7689/6662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7689 ÷ 215
    7689 ÷ 32768     		x = 0.234649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6662 ÷ 215
    6662 ÷ 32768     		y = 0.20330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.53070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.66724537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20330810546875 × 2 - 1) × π
    0.5933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86417015242474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66724537} λ = -1.66724537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86417015242474))-π/2
    2×atan(6.45058066556589)-π/2
    2×1.41699580521094-π/2
    2.83399161042188-1.57079632675     		φ = 1.26319528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66724537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26319528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.375758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7689 KachelY 6662 -1.66724537 1.26319528 -95.526123 72.375758
    Oben rechts KachelX + 1 7690 KachelY 6662 -1.66705362 1.26319528 -95.515137 72.375758
    Unten links KachelX 7689 KachelY + 1 6663 -1.66724537 1.26313722 -95.526123 72.372432
    Unten rechts KachelX + 1 7690 KachelY + 1 6663 -1.66705362 1.26313722 -95.515137 72.372432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26319528-1.26313722) × R
    5.80599999999709e-05 × 6371000     		dl = 369.900259999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26319528-1.26313722) × R
    5.80599999999709e-05 × 6371000     		dr = 369.900259999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66724537--1.66705362) × cos(1.26319528) × R
    0.000191750000000157 × 0.302773157162727 × 6371000     		do = 369.879572636709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66724537--1.66705362) × cos(1.26313722) × R
    0.000191750000000157 × 0.302828491469851 × 6371000     		du = 369.947171198163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26319528)-sin(1.26313722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302773157162727-0.302828491469851)×R²
    abs(-1.66705362--1.66724537)×5.53343071237888e-05×R²
    0.000191750000000157×5.53343071237888e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.53343071237888e-05×40589641000000     		ar = 136831.052488351m²