Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7689 / 4341
↖ ↑ ↗
← N 64.273223°
W 11.052246°		 ← 1 060.55 m → N 64.273223°
W 11.030274°		 →
↑
1 060.77 m
↓
↑
1 060.77 m
↓
N 64.263684°
W 11.052246°		 ← 1 060.92 m →
1 125 197 m²		 N 64.263684°
W 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469329833984375 y=0.264984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469329833984375 × 214)
    floor (0.469329833984375 × 16384)
    floor (7689.5)     		tx = 7689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264984130859375 × 214)
    floor (0.264984130859375 × 16384)
    floor (4341.5)     		ty = 4341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7689 / 4341 ti = "14/7689/4341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7689/4341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7689 ÷ 214
    7689 ÷ 16384     		x = 0.46929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4341 ÷ 214
    4341 ÷ 16384     		y = 0.26495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19289808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26495361328125 × 2 - 1) × π
    0.4700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47684000349469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19289808} λ = -0.19289808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47684000349469))-π/2
    2×atan(4.37908589788517)-π/2
    2×1.34628784695661-π/2
    2.69257569391321-1.57079632675     		φ = 1.12177937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19289808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12177937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.273223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7689 KachelY 4341 -0.19289808 1.12177937 -11.052246 64.273223
    Oben rechts KachelX + 1 7690 KachelY 4341 -0.19251459 1.12177937 -11.030274 64.273223
    Unten links KachelX 7689 KachelY + 1 4342 -0.19289808 1.12161287 -11.052246 64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 7690 KachelY + 1 4342 -0.19251459 1.12161287 -11.030274 64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12177937-1.12161287) × R
    0.000166499999999958 × 6371000     		dl = 1060.77149999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12177937-1.12161287) × R
    0.000166499999999958 × 6371000     		dr = 1060.77149999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19289808--0.19251459) × cos(1.12177937) × R
    0.000383489999999986 × 0.434080145678614 × 6371000     		do = 1060.55103196731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19289808--0.19251459) × cos(1.12161287) × R
    0.000383489999999986 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 1060.91748864512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12177937)-sin(1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434080145678614-0.434230135224891)×R²
    abs(-0.19251459--0.19289808)×0.000149989546276985×R²
    0.000383489999999986×0.000149989546276985×6371000²
    0.000383489999999986×0.000149989546276985×40589641000000     		ar = 1125196.67500569m²