Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76867 / 61761
↖ ↑ ↗
← N 10.312217°
E 31.121521°		 ← 300.49 m → N 10.312217°
E 31.124268°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
N 10.309515°
E 31.121521°		 ← 300.49 m →
90 285 m²		 N 10.309515°
E 31.124268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586452484130859 y=0.471202850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586452484130859 × 217)
    floor (0.586452484130859 × 131072)
    floor (76867.5)     		tx = 76867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471202850341797 × 217)
    floor (0.471202850341797 × 131072)
    floor (61761.5)     		ty = 61761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76867 / 61761 ti = "17/76867/61761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76867/61761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76867 ÷ 217
    76867 ÷ 131072     		x = 0.586448669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61761 ÷ 217
    61761 ÷ 131072     		y = 0.471199035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586448669433594 × 2 - 1) × π
    0.172897338867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.54317301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471199035644531 × 2 - 1) × π
    0.0576019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.180961796065712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54317301} λ = 0.54317301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.180961796065712))-π/2
    2×atan(1.198369395993)-π/2
    2×0.875389234018741-π/2
    1.75077846803748-1.57079632675     		φ = 0.17998214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54317301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.121521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17998214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.312217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76867 KachelY 61761 0.54317301 0.17998214 31.121521 10.312217
    Oben rechts KachelX + 1 76868 KachelY 61761 0.54322095 0.17998214 31.124268 10.312217
    Unten links KachelX 76867 KachelY + 1 61762 0.54317301 0.17993498 31.121521 10.309515
    Unten rechts KachelX + 1 76868 KachelY + 1 61762 0.54322095 0.17993498 31.124268 10.309515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17998214-0.17993498) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17998214-0.17993498) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54317301-0.54322095) × cos(0.17998214) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.98384689009939 × 6371000     		do = 300.492164455804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54317301-0.54322095) × cos(0.17993498) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.983855331211328 × 6371000     		du = 300.494742588664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17998214)-sin(0.17993498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98384689009939-0.983855331211328)×R²
    abs(0.54322095-0.54317301)×8.44111193876174e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.44111193876174e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.44111193876174e-06×40589641000000     		ar = 90285.1692658522m²