Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76866 / 61763
↖ ↑ ↗
← N 10.306813°
E 31.118774°		 ← 300.50 m → N 10.306813°
E 31.121521°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
N 10.304110°
E 31.118774°		 ← 300.50 m →
90 306 m²		 N 10.304110°
E 31.121521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586444854736328 y=0.471218109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586444854736328 × 217)
    floor (0.586444854736328 × 131072)
    floor (76866.5)     		tx = 76866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471218109130859 × 217)
    floor (0.471218109130859 × 131072)
    floor (61763.5)     		ty = 61763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76866 / 61763 ti = "17/76866/61763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76866/61763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76866 ÷ 217
    76866 ÷ 131072     		x = 0.586441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61763 ÷ 217
    61763 ÷ 131072     		y = 0.471214294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586441040039062 × 2 - 1) × π
    0.172882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54312507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471214294433594 × 2 - 1) × π
    0.0575714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.180865922266472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54312507} λ = 0.54312507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.180865922266472))-π/2
    2×atan(1.19825450927351)-π/2
    2×0.875342071044491-π/2
    1.75068414208898-1.57079632675     		φ = 0.17988782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54312507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.118774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17988782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.306813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76866 KachelY 61763 0.54312507 0.17988782 31.118774 10.306813
    Oben rechts KachelX + 1 76867 KachelY 61763 0.54317301 0.17988782 31.121521 10.306813
    Unten links KachelX 76866 KachelY + 1 61764 0.54312507 0.17984065 31.118774 10.304110
    Unten rechts KachelX + 1 76867 KachelY + 1 61764 0.54317301 0.17984065 31.121521 10.304110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17988782-0.17984065) × R
    4.7170000000013e-05 × 6371000     		dl = 300.520070000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17988782-0.17984065) × R
    4.7170000000013e-05 × 6371000     		dr = 300.520070000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54312507-0.54317301) × cos(0.17988782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.983863770135108 × 6371000     		do = 300.497320052508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54312507-0.54317301) × cos(0.17984065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.983872208659439 × 6371000     		du = 300.499897395046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17988782)-sin(0.17984065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983863770135108-0.983872208659439)×R²
    abs(0.54317301-0.54312507)×8.43852433052295e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43852433052295e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43852433052295e-06×40589641000000     		ar = 90305.8629453493m²