Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76861 / 58381
↖ ↑ ↗
← N 19.277443°
E 31.105042°		 ← 288.30 m → N 19.277443°
E 31.107788°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 19.274851°
E 31.105042°		 ← 288.31 m →
83 114 m²		 N 19.274851°
E 31.107788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586406707763672 y=0.445415496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586406707763672 × 217)
    floor (0.586406707763672 × 131072)
    floor (76861.5)     		tx = 76861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445415496826172 × 217)
    floor (0.445415496826172 × 131072)
    floor (58381.5)     		ty = 58381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76861 / 58381 ti = "17/76861/58381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76861/58381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76861 ÷ 217
    76861 ÷ 131072     		x = 0.586402893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58381 ÷ 217
    58381 ÷ 131072     		y = 0.445411682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586402893066406 × 2 - 1) × π
    0.172805786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.54288539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445411682128906 × 2 - 1) × π
    0.109176635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.342988516781502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54288539} λ = 0.54288539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342988516781502))-π/2
    2×atan(1.40915258022657)-π/2
    2×0.953625591282816-π/2
    1.90725118256563-1.57079632675     		φ = 0.33645486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54288539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.105042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33645486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.277443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76861 KachelY 58381 0.54288539 0.33645486 31.105042 19.277443
    Oben rechts KachelX + 1 76862 KachelY 58381 0.54293333 0.33645486 31.107788 19.277443
    Unten links KachelX 76861 KachelY + 1 58382 0.54288539 0.33640961 31.105042 19.274851
    Unten rechts KachelX + 1 76862 KachelY + 1 58382 0.54293333 0.33640961 31.107788 19.274851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33645486-0.33640961) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33645486-0.33640961) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54288539-0.54293333) × cos(0.33645486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94393099720932 × 6371000     		do = 288.300823331405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54288539-0.54293333) × cos(0.33640961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943945935204918 × 6371000     		du = 288.305385779765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33645486)-sin(0.33640961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94393099720932-0.943945935204918)×R²
    abs(0.54293333-0.54288539)×1.49379955981521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49379955981521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49379955981521e-05×40589641000000     		ar = 83114.2533445529m²