Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7686 / 7679
↖ ↑ ↗
← N 68.660553°
W 95.559082°		 ← 444.55 m → N 68.660553°
W 95.548095°		 →
↑
444.57 m
↓
↑
444.57 m
↓
N 68.656555°
W 95.559082°		 ← 444.62 m →
197 649 m²		 N 68.656555°
W 95.548095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234573364257812 y=0.234359741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234573364257812 × 215)
    floor (0.234573364257812 × 32768)
    floor (7686.5)     		tx = 7686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234359741210938 × 215)
    floor (0.234359741210938 × 32768)
    floor (7679.5)     		ty = 7679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7686 / 7679 ti = "15/7686/7679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7686/7679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7686 ÷ 215
    7686 ÷ 32768     		x = 0.23455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7679 ÷ 215
    7679 ÷ 32768     		y = 0.234344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.5308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.66782061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234344482421875 × 2 - 1) × π
    0.53131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66916284477036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66782061} λ = -1.66782061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66916284477036))-π/2
    2×atan(5.30772254906997)-π/2
    2×1.38457452305002-π/2
    2.76914904610005-1.57079632675     		φ = 1.19835272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66782061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19835272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.660553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7686 KachelY 7679 -1.66782061 1.19835272 -95.559082 68.660553
    Oben rechts KachelX + 1 7687 KachelY 7679 -1.66762886 1.19835272 -95.548095 68.660553
    Unten links KachelX 7686 KachelY + 1 7680 -1.66782061 1.19828294 -95.559082 68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 7687 KachelY + 1 7680 -1.66762886 1.19828294 -95.548095 68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19835272-1.19828294) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dl = 444.568380000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19835272-1.19828294) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dr = 444.568380000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66782061--1.66762886) × cos(1.19835272) × R
    0.000191749999999935 × 0.363892591493384 × 6371000     		do = 444.545472552384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66782061--1.66762886) × cos(1.19828294) × R
    0.000191749999999935 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 444.624873070194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19835272)-sin(1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363892591493384-0.363957586554578)×R²
    abs(-1.66762886--1.66782061)×6.49950611936179e-05×R²
    0.000191749999999935×6.49950611936179e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.49950611936179e-05×40589641000000     		ar = 197648.510129317m²