Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7685 / 5099
↖ ↑ ↗
← N 56.035226°
W 11.140136°		 ← 1 364.98 m → N 56.035226°
W 11.118164°		 →
↑
1 365.24 m
↓
↑
1 365.24 m
↓
N 56.022948°
W 11.140136°		 ← 1 365.42 m →
1 863 828 m²		 N 56.022948°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469085693359375 y=0.311248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469085693359375 × 214)
    floor (0.469085693359375 × 16384)
    floor (7685.5)     		tx = 7685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311248779296875 × 214)
    floor (0.311248779296875 × 16384)
    floor (5099.5)     		ty = 5099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7685 / 5099 ti = "14/7685/5099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7685/5099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7685 ÷ 214
    7685 ÷ 16384     		x = 0.46905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5099 ÷ 214
    5099 ÷ 16384     		y = 0.31121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.0618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19443206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31121826171875 × 2 - 1) × π
    0.3775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18615064419867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19443206} λ = -0.19443206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18615064419867))-π/2
    2×atan(3.27445238427878)-π/2
    2×1.27439775689996-π/2
    2.54879551379992-1.57079632675     		φ = 0.97799919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19443206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.140136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97799919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.035226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7685 KachelY 5099 -0.19443206 0.97799919 -11.140136 56.035226
    Oben rechts KachelX + 1 7686 KachelY 5099 -0.19404857 0.97799919 -11.118164 56.035226
    Unten links KachelX 7685 KachelY + 1 5100 -0.19443206 0.97778490 -11.140136 56.022948
    Unten rechts KachelX + 1 7686 KachelY + 1 5100 -0.19404857 0.97778490 -11.118164 56.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97799919-0.97778490) × R
    0.000214290000000061 × 6371000     		dl = 1365.24159000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97799919-0.97778490) × R
    0.000214290000000061 × 6371000     		dr = 1365.24159000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19443206--0.19404857) × cos(0.97799919) × R
    0.000383489999999986 × 0.558683098154115 × 6371000     		do = 1364.98280833311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19443206--0.19404857) × cos(0.97778490) × R
    0.000383489999999986 × 0.558860813425385 × 6371000     		du = 1365.41700491228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97799919)-sin(0.97778490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558683098154115-0.558860813425385)×R²
    abs(-0.19404857--0.19443206)×0.000177715271269974×R²
    0.000383489999999986×0.000177715271269974×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177715271269974×40589641000000     		ar = 1863827.69831704m²