Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7685 / 4343
↖ ↑ ↗
← N 64.254141°
W 11.140136°		 ← 1 061.28 m → N 64.254141°
W 11.118164°		 →
↑
1 061.47 m
↓
↑
1 061.47 m
↓
N 64.244595°
W 11.140136°		 ← 1 061.65 m →
1 126 718 m²		 N 64.244595°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469085693359375 y=0.265106201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469085693359375 × 214)
    floor (0.469085693359375 × 16384)
    floor (7685.5)     		tx = 7685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265106201171875 × 214)
    floor (0.265106201171875 × 16384)
    floor (4343.5)     		ty = 4343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7685 / 4343 ti = "14/7685/4343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7685/4343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7685 ÷ 214
    7685 ÷ 16384     		x = 0.46905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4343 ÷ 214
    4343 ÷ 16384     		y = 0.26507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.0618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19443206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26507568359375 × 2 - 1) × π
    0.4698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47607301310077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19443206} λ = -0.19443206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47607301310077))-π/2
    2×atan(4.37572846878986)-π/2
    2×1.34612132178307-π/2
    2.69224264356615-1.57079632675     		φ = 1.12144632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19443206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.140136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12144632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.254141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7685 KachelY 4343 -0.19443206 1.12144632 -11.140136 64.254141
    Oben rechts KachelX + 1 7686 KachelY 4343 -0.19404857 1.12144632 -11.118164 64.254141
    Unten links KachelX 7685 KachelY + 1 4344 -0.19443206 1.12127971 -11.140136 64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 7686 KachelY + 1 4344 -0.19404857 1.12127971 -11.118164 64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12144632-1.12127971) × R
    0.000166609999999956 × 6371000     		dl = 1061.47230999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12144632-1.12127971) × R
    0.000166609999999956 × 6371000     		dr = 1061.47230999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19443206--0.19404857) × cos(1.12144632) × R
    0.000383489999999986 × 0.434380157769814 × 6371000     		do = 1061.28402594571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19443206--0.19404857) × cos(1.12127971) × R
    0.000383489999999986 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 1061.65066583739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12144632)-sin(1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434380157769814-0.434530222304944)×R²
    abs(-0.19404857--0.19443206)×0.000150064535130168×R²
    0.000383489999999986×0.000150064535130168×6371000²
    0.000383489999999986×0.000150064535130168×40589641000000     		ar = 1126718.19823873m²