Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7683 / 5116
↖ ↑ ↗
← N 55.825973°
W 11.184082°		 ← 1 372.41 m → N 55.825973°
W 11.162109°		 →
↑
1 372.63 m
↓
↑
1 372.63 m
↓
N 55.813629°
W 11.184082°		 ← 1 372.85 m →
1 884 113 m²		 N 55.813629°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468963623046875 y=0.312286376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468963623046875 × 214)
    floor (0.468963623046875 × 16384)
    floor (7683.5)     		tx = 7683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312286376953125 × 214)
    floor (0.312286376953125 × 16384)
    floor (5116.5)     		ty = 5116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7683 / 5116 ti = "14/7683/5116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7683/5116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7683 ÷ 214
    7683 ÷ 16384     		x = 0.46893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5116 ÷ 214
    5116 ÷ 16384     		y = 0.312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19519906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312255859375 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19519906} λ = -0.19519906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17963122585034))-π/2
    2×atan(3.25317429507142)-π/2
    2×1.27257168409968-π/2
    2.54514336819935-1.57079632675     		φ = 0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19519906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7683 KachelY 5116 -0.19519906 0.97434704 -11.184082 55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 7684 KachelY 5116 -0.19481556 0.97434704 -11.162109 55.825973
    Unten links KachelX 7683 KachelY + 1 5117 -0.19519906 0.97413159 -11.184082 55.813629
    Unten rechts KachelX + 1 7684 KachelY + 1 5117 -0.19481556 0.97413159 -11.162109 55.813629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97434704-0.97413159) × R
    0.000215450000000006 × 6371000     		dl = 1372.63195000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97434704-0.97413159) × R
    0.000215450000000006 × 6371000     		dr = 1372.63195000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19519906--0.19481556) × cos(0.97434704) × R
    0.000383500000000009 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 1372.41003281794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19519906--0.19481556) × cos(0.97413159) × R
    0.000383500000000009 × 0.561886626457219 × 6371000     		du = 1372.84551386049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97434704)-sin(0.97413159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561886626457219)×R²
    abs(-0.19481556--0.19519906)×0.000178236350277139×R²
    0.000383500000000009×0.000178236350277139×6371000²
    0.000383500000000009×0.000178236350277139×40589641000000     		ar = 1884112.74442965m²