Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7682 / 7684
↖ ↑ ↗
← N 68.640555°
W 95.603027°		 ← 444.94 m → N 68.640555°
W 95.592041°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
N 68.636553°
W 95.603027°		 ← 445.02 m →
198 024 m²		 N 68.636553°
W 95.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234451293945312 y=0.234512329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234451293945312 × 215)
    floor (0.234451293945312 × 32768)
    floor (7682.5)     		tx = 7682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234512329101562 × 215)
    floor (0.234512329101562 × 32768)
    floor (7684.5)     		ty = 7684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7682 / 7684 ti = "15/7682/7684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7682/7684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7682 ÷ 215
    7682 ÷ 32768     		x = 0.23443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7684 ÷ 215
    7684 ÷ 32768     		y = 0.2344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.5311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66858760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2344970703125 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66858760} λ = -1.66858760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66820410677795))-π/2
    2×atan(5.30263627240199)-π/2
    2×1.38440000631614-π/2
    2.76880001263228-1.57079632675     		φ = 1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66858760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7682 KachelY 7684 -1.66858760 1.19800369 -95.603027 68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 7683 KachelY 7684 -1.66839585 1.19800369 -95.592041 68.640555
    Unten links KachelX 7682 KachelY + 1 7685 -1.66858760 1.19793384 -95.603027 68.636553
    Unten rechts KachelX + 1 7683 KachelY + 1 7685 -1.66839585 1.19793384 -95.592041 68.636553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19800369-1.19793384) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dl = 445.014350000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19800369-1.19793384) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dr = 445.014350000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66858760--1.66839585) × cos(1.19800369) × R
    0.000191749999999935 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 444.942601392525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66858760--1.66839585) × cos(1.19793384) × R
    0.000191749999999935 × 0.364282721528907 × 6371000     		du = 445.022070716382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19800369)-sin(1.19793384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364282721528907)×R²
    abs(-1.66839585--1.66858760)×6.50513839147715e-05×R²
    0.000191749999999935×6.50513839147715e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.50513839147715e-05×40589641000000     		ar = 198023.525121239m²