Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7682 / 5088
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 11.206055°		 ← 1 360.21 m → N 56.170023°
W 11.184082°		 →
↑
1 360.46 m
↓
↑
1 360.46 m
↓
N 56.157788°
W 11.206055°		 ← 1 360.65 m →
1 850 813 m²		 N 56.157788°
W 11.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468902587890625 y=0.310577392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468902587890625 × 214)
    floor (0.468902587890625 × 16384)
    floor (7682.5)     		tx = 7682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310577392578125 × 214)
    floor (0.310577392578125 × 16384)
    floor (5088.5)     		ty = 5088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7682 / 5088 ti = "14/7682/5088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7682/5088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7682 ÷ 214
    7682 ÷ 16384     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5088 ÷ 214
    5088 ÷ 16384     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7682 KachelY 5088 -0.19558255 0.98035184 -11.206055 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 7683 KachelY 5088 -0.19519906 0.98035184 -11.184082 56.170023
    Unten links KachelX 7682 KachelY + 1 5089 -0.19558255 0.98013830 -11.206055 56.157788
    Unten rechts KachelX + 1 7683 KachelY + 1 5089 -0.19519906 0.98013830 -11.184082 56.157788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.98013830) × R
    0.000213539999999957 × 6371000     		dl = 1360.46333999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.98013830) × R
    0.000213539999999957 × 6371000     		dr = 1360.46333999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(0.98035184) × R
    0.000383489999999986 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 1360.21172767784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(0.98013830) × R
    0.000383489999999986 × 0.55690768365319 × 6371000     		du = 1360.64508936607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.98013830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.55690768365319)×R²
    abs(-0.19519906--0.19558255)×0.000177373553073901×R²
    0.000383489999999986×0.000177373553073901×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177373553073901×40589641000000     		ar = 1850812.98352115m²