Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7682 / 4335
↖ ↑ ↗
← N 64.330391°
W 11.206055°		 ← 1 058.35 m → N 64.330391°
W 11.184082°		 →
↑
1 058.54 m
↓
↑
1 058.54 m
↓
N 64.320872°
W 11.206055°		 ← 1 058.72 m →
1 120 506 m²		 N 64.320872°
W 11.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468902587890625 y=0.264617919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468902587890625 × 214)
    floor (0.468902587890625 × 16384)
    floor (7682.5)     		tx = 7682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264617919921875 × 214)
    floor (0.264617919921875 × 16384)
    floor (4335.5)     		ty = 4335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7682 / 4335 ti = "14/7682/4335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7682/4335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7682 ÷ 214
    7682 ÷ 16384     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4335 ÷ 214
    4335 ÷ 16384     		y = 0.26458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26458740234375 × 2 - 1) × π
    0.4708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47914097467645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47914097467645))-π/2
    2×atan(4.389173649701)-π/2
    2×1.3467867325845-π/2
    2.693573465169-1.57079632675     		φ = 1.12277714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12277714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.330391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7682 KachelY 4335 -0.19558255 1.12277714 -11.206055 64.330391
    Oben rechts KachelX + 1 7683 KachelY 4335 -0.19519906 1.12277714 -11.184082 64.330391
    Unten links KachelX 7682 KachelY + 1 4336 -0.19558255 1.12261099 -11.206055 64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 7683 KachelY + 1 4336 -0.19519906 1.12261099 -11.184082 64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12277714-1.12261099) × R
    0.000166149999999865 × 6371000     		dl = 1058.54164999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12277714-1.12261099) × R
    0.000166149999999865 × 6371000     		dr = 1058.54164999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(1.12277714) × R
    0.000383489999999986 × 0.433181064447103 × 6371000     		do = 1058.35438340507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(1.12261099) × R
    0.000383489999999986 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 1058.72024545023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12277714)-sin(1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433181064447103-0.433330810612138)×R²
    abs(-0.19519906--0.19558255)×0.000149746165034881×R²
    0.000383489999999986×0.000149746165034881×6371000²
    0.000383489999999986×0.000149746165034881×40589641000000     		ar = 1120505.8379774m²