Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76817 / 61585
↖ ↑ ↗
← N 10.787443°
E 30.984192°		 ← 300.03 m → N 10.787443°
E 30.986938°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.784744°
E 30.984192°		 ← 300.03 m →
90 012 m²		 N 10.784744°
E 30.986938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586071014404297 y=0.469860076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586071014404297 × 217)
    floor (0.586071014404297 × 131072)
    floor (76817.5)     		tx = 76817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469860076904297 × 217)
    floor (0.469860076904297 × 131072)
    floor (61585.5)     		ty = 61585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76817 / 61585 ti = "17/76817/61585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76817/61585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76817 ÷ 217
    76817 ÷ 131072     		x = 0.586067199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61585 ÷ 217
    61585 ÷ 131072     		y = 0.469856262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586067199707031 × 2 - 1) × π
    0.172134399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.54077616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469856262207031 × 2 - 1) × π
    0.0602874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.189398690398842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54077616} λ = 0.54077616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189398690398842))-π/2
    2×atan(1.20852268283632)-π/2
    2×0.879536360037355-π/2
    1.75907272007471-1.57079632675     		φ = 0.18827639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54077616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.984192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18827639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.787443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76817 KachelY 61585 0.54077616 0.18827639 30.984192 10.787443
    Oben rechts KachelX + 1 76818 KachelY 61585 0.54082410 0.18827639 30.986938 10.787443
    Unten links KachelX 76817 KachelY + 1 61586 0.54077616 0.18822930 30.984192 10.784744
    Unten rechts KachelX + 1 76818 KachelY + 1 61586 0.54082410 0.18822930 30.986938 10.784744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18827639-0.18822930) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18827639-0.18822930) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54077616-0.54082410) × cos(0.18827639) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.982328295351901 × 6371000     		do = 300.028346531291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54077616-0.54082410) × cos(0.18822930) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.982337107910778 × 6371000     		du = 300.031038113607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18827639)-sin(0.18822930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982328295351901-0.982337107910778)×R²
    abs(0.54082410-0.54077616)×8.81255887708043e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.81255887708043e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.81255887708043e-06×40589641000000     		ar = 90012.0250218781m²