Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 768 / 804
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
E 90.000000°		 ← 12.679 km → S 71.074057°
E 90.351563°		 →
↑
12.643 km
↓
↑
12.643 km
↓
S 71.187754°
E 90.000000°		 ← 12.606 km →
159.835 km²		 S 71.187754°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75048828125 y=0.78564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75048828125 × 210)
    floor (0.75048828125 × 1024)
    floor (768.5)     		tx = 768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78564453125 × 210)
    floor (0.78564453125 × 1024)
    floor (804.5)     		ty = 804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 768 / 804 ti = "10/768/804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/768/804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 768 ÷ 210
    768 ÷ 1024     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 804 ÷ 210
    804 ÷ 1024     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 768 KachelY 804 1.57079633 -1.24047630 90.000000 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 769 KachelY 804 1.57693225 -1.24047630 90.351563 -71.074057
    Unten links KachelX 768 KachelY + 1 805 1.57079633 -1.24246069 90.000000 -71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 769 KachelY + 1 805 1.57693225 -1.24246069 90.351563 -71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24246069) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dl = 12642.548689999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24246069) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dr = 12642.548689999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57693225) × cos(-1.24047630) × R
    0.00613591999999996 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 12679.3074571261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57693225) × cos(-1.24246069) × R
    0.00613591999999996 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 12605.9026152559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.322468022238295)×R²
    abs(1.57693225-1.57079633)×0.00187774845665956×R²
    0.00613591999999996×0.00187774845665956×6371000²
    0.00613591999999996×0.00187774845665956×40589641000000     		ar = 159834802.188329m²