Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76795 / 58332
↖ ↑ ↗
← N 19.404430°
E 30.923767°		 ← 288.08 m → N 19.404430°
E 30.926514°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.401840°
E 30.923767°		 ← 288.08 m →
82 976 m²		 N 19.401840°
E 30.926514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585903167724609 y=0.445041656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585903167724609 × 217)
    floor (0.585903167724609 × 131072)
    floor (76795.5)     		tx = 76795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445041656494141 × 217)
    floor (0.445041656494141 × 131072)
    floor (58332.5)     		ty = 58332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76795 / 58332 ti = "17/76795/58332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76795/58332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76795 ÷ 217
    76795 ÷ 131072     		x = 0.585899353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58332 ÷ 217
    58332 ÷ 131072     		y = 0.445037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585899353027344 × 2 - 1) × π
    0.171798706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.53972155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445037841796875 × 2 - 1) × π
    0.10992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.345337424862885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53972155} λ = 0.53972155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345337424862885))-π/2
    2×atan(1.41246644056318)-π/2
    2×0.954733764214684-π/2
    1.90946752842937-1.57079632675     		φ = 0.33867120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53972155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.923767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33867120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.404430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76795 KachelY 58332 0.53972155 0.33867120 30.923767 19.404430
    Oben rechts KachelX + 1 76796 KachelY 58332 0.53976949 0.33867120 30.926514 19.404430
    Unten links KachelX 76795 KachelY + 1 58333 0.53972155 0.33862599 30.923767 19.401840
    Unten rechts KachelX + 1 76796 KachelY + 1 58333 0.53976949 0.33862599 30.926514 19.401840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33867120-0.33862599) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dl = 288.032910000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33867120-0.33862599) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dr = 288.032910000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53972155-0.53976949) × cos(0.33867120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94319697073069 × 6371000     		do = 288.076632750991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53972155-0.53976949) × cos(0.33862599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943211990068874 × 6371000     		du = 288.08122004347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33867120)-sin(0.33862599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94319697073069-0.943211990068874)×R²
    abs(0.53976949-0.53972155)×1.50193381838193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50193381838193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50193381838193e-05×40589641000000     		ar = 82976.2114940954m²