Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7678 / 4231
↖ ↑ ↗
← N 65.302650°
W 11.293945°		 ← 1 020.84 m → N 65.302650°
W 11.271973°		 →
↑
1 021.08 m
↓
↑
1 021.08 m
↓
N 65.293468°
W 11.293945°		 ← 1 021.19 m →
1 042 537 m²		 N 65.293468°
W 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468658447265625 y=0.258270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468658447265625 × 214)
    floor (0.468658447265625 × 16384)
    floor (7678.5)     		tx = 7678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258270263671875 × 214)
    floor (0.258270263671875 × 16384)
    floor (4231.5)     		ty = 4231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7678 / 4231 ti = "14/7678/4231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7678/4231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7678 ÷ 214
    7678 ÷ 16384     		x = 0.4686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4231 ÷ 214
    4231 ÷ 16384     		y = 0.25823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25823974609375 × 2 - 1) × π
    0.4835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51902447516034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19711653} λ = -0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51902447516034))-π/2
    2×atan(4.56776705076062)-π/2
    2×1.35527129088376-π/2
    2.71054258176752-1.57079632675     		φ = 1.13974626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13974626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.302650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7678 KachelY 4231 -0.19711653 1.13974626 -11.293945 65.302650
    Oben rechts KachelX + 1 7679 KachelY 4231 -0.19673304 1.13974626 -11.271973 65.302650
    Unten links KachelX 7678 KachelY + 1 4232 -0.19711653 1.13958599 -11.293945 65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 7679 KachelY + 1 4232 -0.19673304 1.13958599 -11.271973 65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13974626-1.13958599) × R
    0.000160269999999851 × 6371000     		dl = 1021.08016999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13974626-1.13958599) × R
    0.000160269999999851 × 6371000     		dr = 1021.08016999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19711653--0.19673304) × cos(1.13974626) × R
    0.000383490000000014 × 0.417825047175989 × 6371000     		do = 1020.83633489286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19711653--0.19673304) × cos(1.13958599) × R
    0.000383490000000014 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 1021.19207756155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13974626)-sin(1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417825047175989-0.417970651512596)×R²
    abs(-0.19673304--0.19711653)×0.000145604336607263×R²
    0.000383490000000014×0.000145604336607263×6371000²
    0.000383490000000014×0.000145604336607263×40589641000000     		ar = 1042537.36149668m²