Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7677 / 4230
↖ ↑ ↗
← N 65.311829°
W 11.315918°		 ← 1 020.51 m → N 65.311829°
W 11.293945°		 →
↑
1 020.63 m
↓
↑
1 020.63 m
↓
N 65.302650°
W 11.315918°		 ← 1 020.86 m →
1 041 746 m²		 N 65.302650°
W 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468597412109375 y=0.258209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468597412109375 × 214)
    floor (0.468597412109375 × 16384)
    floor (7677.5)     		tx = 7677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258209228515625 × 214)
    floor (0.258209228515625 × 16384)
    floor (4230.5)     		ty = 4230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7677 / 4230 ti = "14/7677/4230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7677/4230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7677 ÷ 214
    7677 ÷ 16384     		x = 0.46856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4230 ÷ 214
    4230 ÷ 16384     		y = 0.2581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19750003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2581787109375 × 2 - 1) × π
    0.483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5194079703573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19750003} λ = -0.19750003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5194079703573))-π/2
    2×atan(4.56951910341583)-π/2
    2×1.35535139387828-π/2
    2.71070278775657-1.57079632675     		φ = 1.13990646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19750003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13990646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.311829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7677 KachelY 4230 -0.19750003 1.13990646 -11.315918 65.311829
    Oben rechts KachelX + 1 7678 KachelY 4230 -0.19711653 1.13990646 -11.293945 65.311829
    Unten links KachelX 7677 KachelY + 1 4231 -0.19750003 1.13974626 -11.315918 65.302650
    Unten rechts KachelX + 1 7678 KachelY + 1 4231 -0.19711653 1.13974626 -11.293945 65.302650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13990646-1.13974626) × R
    0.000160200000000055 × 6371000     		dl = 1020.63420000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13990646-1.13974626) × R
    0.000160200000000055 × 6371000     		dr = 1020.63420000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19750003--0.19711653) × cos(1.13990646) × R
    0.000383499999999981 × 0.417679495708541 × 6371000     		do = 1020.50733175547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19750003--0.19711653) × cos(1.13974626) × R
    0.000383499999999981 × 0.417825047175989 × 6371000     		du = 1020.86295452653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13990646)-sin(1.13974626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417679495708541-0.417825047175989)×R²
    abs(-0.19711653--0.19750003)×0.000145551467448046×R²
    0.000383499999999981×0.000145551467448046×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145551467448046×40589641000000     		ar = 1041746.16675134m²