Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76769 / 59102
↖ ↑ ↗
← N 17.397821°
E 30.852356°		 ← 291.45 m → N 17.397821°
E 30.855103°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
N 17.395200°
E 30.852356°		 ← 291.46 m →
84 933 m²		 N 17.395200°
E 30.855103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585704803466797 y=0.450916290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585704803466797 × 217)
    floor (0.585704803466797 × 131072)
    floor (76769.5)     		tx = 76769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450916290283203 × 217)
    floor (0.450916290283203 × 131072)
    floor (59102.5)     		ty = 59102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76769 / 59102 ti = "17/76769/59102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76769/59102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76769 ÷ 217
    76769 ÷ 131072     		x = 0.585700988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59102 ÷ 217
    59102 ÷ 131072     		y = 0.450912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585700988769531 × 2 - 1) × π
    0.171401977539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.53847519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450912475585938 × 2 - 1) × π
    0.098175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.308426012155441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53847519} λ = 0.53847519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308426012155441))-π/2
    2×atan(1.36128078759023)-π/2
    2×0.937222794763816-π/2
    1.87444558952763-1.57079632675     		φ = 0.30364926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53847519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.852356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30364926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.397821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76769 KachelY 59102 0.53847519 0.30364926 30.852356 17.397821
    Oben rechts KachelX + 1 76770 KachelY 59102 0.53852313 0.30364926 30.855103 17.397821
    Unten links KachelX 76769 KachelY + 1 59103 0.53847519 0.30360352 30.852356 17.395200
    Unten rechts KachelX + 1 76770 KachelY + 1 59103 0.53852313 0.30360352 30.855103 17.395200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30364926-0.30360352) × R
    4.57399999999608e-05 × 6371000     		dl = 291.40953999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30364926-0.30360352) × R
    4.57399999999608e-05 × 6371000     		dr = 291.40953999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53847519-0.53852313) × cos(0.30364926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95425170030181 × 6371000     		do = 291.453031710747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53847519-0.53852313) × cos(0.30360352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954265375769529 × 6371000     		du = 291.457208550595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30364926)-sin(0.30360352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95425170030181-0.954265375769529)×R²
    abs(0.53852313-0.53847519)×1.36754677184658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36754677184658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36754677184658e-05×40589641000000     		ar = 84932.8025026848m²