Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7676 / 7687
↖ ↑ ↗
← N 68.628548°
W 95.668945°		 ← 445.18 m → N 68.628548°
W 95.657959°		 →
↑
445.27 m
↓
↑
445.27 m
↓
N 68.624543°
W 95.668945°		 ← 445.26 m →
198 243 m²		 N 68.624543°
W 95.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234268188476562 y=0.234603881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234268188476562 × 215)
    floor (0.234268188476562 × 32768)
    floor (7676.5)     		tx = 7676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234603881835938 × 215)
    floor (0.234603881835938 × 32768)
    floor (7687.5)     		ty = 7687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7676 / 7687 ti = "15/7676/7687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7676/7687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7676 ÷ 215
    7676 ÷ 32768     		x = 0.2342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7687 ÷ 215
    7687 ÷ 32768     		y = 0.234588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.66973809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234588623046875 × 2 - 1) × π
    0.53082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66762886398251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66973809} λ = -1.66973809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66762886398251))-π/2
    2×atan(5.29958684625375)-π/2
    2×1.38429522145466-π/2
    2.76859044290932-1.57079632675     		φ = 1.19779412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66973809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19779412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.628548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7676 KachelY 7687 -1.66973809 1.19779412 -95.668945 68.628548
    Oben rechts KachelX + 1 7677 KachelY 7687 -1.66954634 1.19779412 -95.657959 68.628548
    Unten links KachelX 7676 KachelY + 1 7688 -1.66973809 1.19772423 -95.668945 68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 7677 KachelY + 1 7688 -1.66954634 1.19772423 -95.657959 68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19779412-1.19772423) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dl = 445.269190000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19779412-1.19772423) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dr = 445.269190000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66973809--1.66954634) × cos(1.19779412) × R
    0.000191750000000157 × 0.364412837589138 × 6371000     		do = 445.181025603131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66973809--1.66954634) × cos(1.19772423) × R
    0.000191750000000157 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 445.260533915592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19779412)-sin(1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364412837589138-0.364477920888042)×R²
    abs(-1.66954634--1.66973809)×6.50832989042005e-05×R²
    0.000191750000000157×6.50832989042005e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.50832989042005e-05×40589641000000     		ar = 198243.096055236m²