Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7676 / 4239
↖ ↑ ↗
← N 65.229102°
W 11.337891°		 ← 1 023.68 m → N 65.229102°
W 11.315918°		 →
↑
1 023.88 m
↓
↑
1 023.88 m
↓
N 65.219894°
W 11.337891°		 ← 1 024.04 m →
1 048 316 m²		 N 65.219894°
W 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468536376953125 y=0.258758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468536376953125 × 214)
    floor (0.468536376953125 × 16384)
    floor (7676.5)     		tx = 7676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258758544921875 × 214)
    floor (0.258758544921875 × 16384)
    floor (4239.5)     		ty = 4239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7676 / 4239 ti = "14/7676/4239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7676/4239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7676 ÷ 214
    7676 ÷ 16384     		x = 0.468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4239 ÷ 214
    4239 ÷ 16384     		y = 0.25872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25872802734375 × 2 - 1) × π
    0.4825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51595651358466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19788352} λ = -0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51595651358466))-π/2
    2×atan(4.55377479179369)-π/2
    2×1.35462946137864-π/2
    2.70925892275728-1.57079632675     		φ = 1.13846260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13846260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.229102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7676 KachelY 4239 -0.19788352 1.13846260 -11.337891 65.229102
    Oben rechts KachelX + 1 7677 KachelY 4239 -0.19750003 1.13846260 -11.315918 65.229102
    Unten links KachelX 7676 KachelY + 1 4240 -0.19788352 1.13830189 -11.337891 65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 7677 KachelY + 1 4240 -0.19750003 1.13830189 -11.315918 65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13846260-1.13830189) × R
    0.000160710000000064 × 6371000     		dl = 1023.88341000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13846260-1.13830189) × R
    0.000160710000000064 × 6371000     		dr = 1023.88341000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19788352--0.19750003) × cos(1.13846260) × R
    0.000383490000000014 × 0.41899094303216 × 6371000     		do = 1023.68486889226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19788352--0.19750003) × cos(1.13830189) × R
    0.000383490000000014 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 1024.04137724299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13846260)-sin(1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41899094303216-0.419136860759979)×R²
    abs(-0.19750003--0.19788352)×0.000145917727818912×R²
    0.000383490000000014×0.000145917727818912×6371000²
    0.000383490000000014×0.000145917727818912×40589641000000     		ar = 1048316.46807568m²