Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76739 / 58389
↖ ↑ ↗
← N 19.256701°
E 30.769959°		 ← 288.28 m → N 19.256701°
E 30.772705°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
N 19.254108°
E 30.769959°		 ← 288.28 m →
83 126 m²		 N 19.254108°
E 30.772705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585475921630859 y=0.445476531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585475921630859 × 217)
    floor (0.585475921630859 × 131072)
    floor (76739.5)     		tx = 76739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445476531982422 × 217)
    floor (0.445476531982422 × 131072)
    floor (58389.5)     		ty = 58389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76739 / 58389 ti = "17/76739/58389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76739/58389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76739 ÷ 217
    76739 ÷ 131072     		x = 0.585472106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58389 ÷ 217
    58389 ÷ 131072     		y = 0.445472717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585472106933594 × 2 - 1) × π
    0.170944213867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.53703709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445472717285156 × 2 - 1) × π
    0.109054565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.342605021584541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53703709} λ = 0.53703709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342605021584541))-π/2
    2×atan(1.40861228058804)-π/2
    2×0.953444583326354-π/2
    1.90688916665271-1.57079632675     		φ = 0.33609284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53703709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.769959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33609284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.256701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76739 KachelY 58389 0.53703709 0.33609284 30.769959 19.256701
    Oben rechts KachelX + 1 76740 KachelY 58389 0.53708502 0.33609284 30.772705 19.256701
    Unten links KachelX 76739 KachelY + 1 58390 0.53703709 0.33604758 30.769959 19.254108
    Unten rechts KachelX + 1 76740 KachelY + 1 58390 0.53708502 0.33604758 30.772705 19.254108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33609284-0.33604758) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33609284-0.33604758) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53703709-0.53708502) × cos(0.33609284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944050453650342 × 6371000     		do = 288.277162949266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53703709-0.53708502) × cos(0.33604758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944065379479506 × 6371000     		du = 288.281720730759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33609284)-sin(0.33604758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944050453650342-0.944065379479506)×R²
    abs(0.53708502-0.53703709)×1.49258291646248e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49258291646248e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49258291646248e-05×40589641000000     		ar = 83125.7979567063m²