Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7673 / 6679
↖ ↑ ↗
← N 72.319123°
W 95.701904°		 ← 371.03 m → N 72.319123°
W 95.690918°		 →
↑
371.11 m
↓
↑
371.11 m
↓
N 72.315785°
W 95.701904°		 ← 371.10 m →
137 706 m²		 N 72.315785°
W 95.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234176635742188 y=0.203842163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234176635742188 × 215)
    floor (0.234176635742188 × 32768)
    floor (7673.5)     		tx = 7673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203842163085938 × 215)
    floor (0.203842163085938 × 32768)
    floor (6679.5)     		ty = 6679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7673 / 6679 ti = "15/7673/6679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7673/6679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7673 ÷ 215
    7673 ÷ 32768     		x = 0.234161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6679 ÷ 215
    6679 ÷ 32768     		y = 0.203826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.53167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67031333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203826904296875 × 2 - 1) × π
    0.59234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86091044325058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67031333} λ = -1.67031333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86091044325058))-π/2
    2×atan(6.42958788236424)-π/2
    2×1.41650156174051-π/2
    2.83300312348101-1.57079632675     		φ = 1.26220680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67031333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.701904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26220680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.319123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7673 KachelY 6679 -1.67031333 1.26220680 -95.701904 72.319123
    Oben rechts KachelX + 1 7674 KachelY 6679 -1.67012158 1.26220680 -95.690918 72.319123
    Unten links KachelX 7673 KachelY + 1 6680 -1.67031333 1.26214855 -95.701904 72.315785
    Unten rechts KachelX + 1 7674 KachelY + 1 6680 -1.67012158 1.26214855 -95.690918 72.315785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26220680-1.26214855) × R
    5.82499999999264e-05 × 6371000     		dl = 371.110749999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26220680-1.26214855) × R
    5.82499999999264e-05 × 6371000     		dr = 371.110749999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67031333--1.67012158) × cos(1.26220680) × R
    0.000191749999999935 × 0.303715092459119 × 6371000     		do = 371.030277765313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67031333--1.67012158) × cos(1.26214855) × R
    0.000191749999999935 × 0.303770590382719 × 6371000     		du = 371.098076207077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26220680)-sin(1.26214855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303715092459119-0.303770590382719)×R²
    abs(-1.67012158--1.67031333)×5.54979236007114e-05×R²
    0.000191749999999935×5.54979236007114e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.54979236007114e-05×40589641000000     		ar = 137705.905057736m²