Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7673 / 4271
↖ ↑ ↗
← N 64.932853°
W 11.403809°		 ← 1 035.17 m → N 64.932853°
W 11.381836°		 →
↑
1 035.29 m
↓
↑
1 035.29 m
↓
N 64.923542°
W 11.403809°		 ← 1 035.53 m →
1 071 883 m²		 N 64.923542°
W 11.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468353271484375 y=0.260711669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468353271484375 × 214)
    floor (0.468353271484375 × 16384)
    floor (7673.5)     		tx = 7673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260711669921875 × 214)
    floor (0.260711669921875 × 16384)
    floor (4271.5)     		ty = 4271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7673 / 4271 ti = "14/7673/4271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7673/4271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7673 ÷ 214
    7673 ÷ 16384     		x = 0.46832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4271 ÷ 214
    4271 ÷ 16384     		y = 0.26068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19903401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26068115234375 × 2 - 1) × π
    0.4786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50368466728192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19903401} λ = -0.19903401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50368466728192))-π/2
    2×atan(4.49823306426201)-π/2
    2×1.35204419987983-π/2
    2.70408839975966-1.57079632675     		φ = 1.13329207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19903401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13329207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.932853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7673 KachelY 4271 -0.19903401 1.13329207 -11.403809 64.932853
    Oben rechts KachelX + 1 7674 KachelY 4271 -0.19865051 1.13329207 -11.381836 64.932853
    Unten links KachelX 7673 KachelY + 1 4272 -0.19903401 1.13312957 -11.403809 64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 7674 KachelY + 1 4272 -0.19865051 1.13312957 -11.381836 64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13329207-1.13312957) × R
    0.000162500000000065 × 6371000     		dl = 1035.28750000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13329207-1.13312957) × R
    0.000162500000000065 × 6371000     		dr = 1035.28750000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19903401--0.19865051) × cos(1.13329207) × R
    0.000383500000000009 × 0.423680113063164 × 6371000     		do = 1035.16851112482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19903401--0.19865051) × cos(1.13312957) × R
    0.000383500000000009 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 1035.52813444311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13329207)-sin(1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423680113063164-0.423827301899101)×R²
    abs(-0.19865051--0.19903401)×0.000147188835936951×R²
    0.000383500000000009×0.000147188835936951×6371000²
    0.000383500000000009×0.000147188835936951×40589641000000     		ar = 1071883.17908423m²