Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7672 / 6680
↖ ↑ ↗
← N 72.315785°
W 95.712891°		 ← 371.10 m → N 72.315785°
W 95.701904°		 →
↑
371.11 m
↓
↑
371.11 m
↓
N 72.312448°
W 95.712891°		 ← 371.17 m →
137 731 m²		 N 72.312448°
W 95.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234146118164062 y=0.203872680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234146118164062 × 215)
    floor (0.234146118164062 × 32768)
    floor (7672.5)     		tx = 7672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203872680664062 × 215)
    floor (0.203872680664062 × 32768)
    floor (6680.5)     		ty = 6680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7672 / 6680 ti = "15/7672/6680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7672/6680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7672 ÷ 215
    7672 ÷ 32768     		x = 0.234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6680 ÷ 215
    6680 ÷ 32768     		y = 0.203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.53173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.67050508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203857421875 × 2 - 1) × π
    0.59228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8607186956521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67050508} λ = -1.67050508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8607186956521))-π/2
    2×atan(6.42835514251981)-π/2
    2×1.41647244076045-π/2
    2.83294488152089-1.57079632675     		φ = 1.26214855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67050508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26214855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.315785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7672 KachelY 6680 -1.67050508 1.26214855 -95.712891 72.315785
    Oben rechts KachelX + 1 7673 KachelY 6680 -1.67031333 1.26214855 -95.701904 72.315785
    Unten links KachelX 7672 KachelY + 1 6681 -1.67050508 1.26209030 -95.712891 72.312448
    Unten rechts KachelX + 1 7673 KachelY + 1 6681 -1.67031333 1.26209030 -95.701904 72.312448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26214855-1.26209030) × R
    5.82499999999264e-05 × 6371000     		dl = 371.110749999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26214855-1.26209030) × R
    5.82499999999264e-05 × 6371000     		dr = 371.110749999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67050508--1.67031333) × cos(1.26214855) × R
    0.000191750000000157 × 0.303770590382719 × 6371000     		do = 371.098076207506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67050508--1.67031333) × cos(1.26209030) × R
    0.000191750000000157 × 0.303826087275607 × 6371000     		du = 371.165873390112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26214855)-sin(1.26209030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303770590382719-0.303826087275607)×R²
    abs(-1.67031333--1.67050508)×5.54968928881405e-05×R²
    0.000191750000000157×5.54968928881405e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.54968928881405e-05×40589641000000     		ar = 137731.065555277m²