Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 767 / 849
↖ ↑ ↗
← N 29.382175°
W 45.175781°		 ← 17.032 km → N 29.382175°
W 45.000000°		 →
↑
17.045 km
↓
↑
17.045 km
↓
N 29.228890°
W 45.175781°		 ← 17.057 km →
290.516 km²		 N 29.228890°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374755859375 y=0.414794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374755859375 × 211)
    floor (0.374755859375 × 2048)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414794921875 × 211)
    floor (0.414794921875 × 2048)
    floor (849.5)     		ty = 849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 767 / 849 ti = "11/767/849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/767/849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 211
    767 ÷ 2048     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 849 ÷ 211
    849 ÷ 2048     		y = 0.41455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536893275744629))-π/2
    2×atan(1.71068397469682)-π/2
    2×1.04180601162011-π/2
    2.08361202324022-1.57079632675     		φ = 0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 849 -0.78846612 0.51281570 -45.175781 29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 849 -0.78539816 0.51281570 -45.000000 29.382175
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 850 -0.78846612 0.51014037 -45.175781 29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 850 -0.78539816 0.51014037 -45.000000 29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51281570-0.51014037) × R
    0.00267532999999998 × 6371000     		dl = 17044.5274299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51281570-0.51014037) × R
    0.00267532999999998 × 6371000     		dr = 17044.5274299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(0.51281570) × R
    0.00306796000000009 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 17031.706009614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(0.51014037) × R
    0.00306796000000009 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 17057.3011575128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51281570)-sin(0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.872675973607667)×R²
    abs(-0.78539816--0.78846612)×0.00130948444926815×R²
    0.00306796000000009×0.00130948444926815×6371000²
    0.00306796000000009×0.00130948444926815×40589641000000     		ar = 290515682.138654m²