Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 767 / 814
↖ ↑ ↗
← S 72.181803°
E 89.648437°		 ← 11.962 km → S 72.181803°
E 90.000000°		 →
↑
11.927 km
↓
↑
11.927 km
↓
S 72.289067°
E 89.648437°		 ← 11.892 km →
142.258 km²		 S 72.289067°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74951171875 y=0.79541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74951171875 × 210)
    floor (0.74951171875 × 1024)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79541015625 × 210)
    floor (0.79541015625 × 1024)
    floor (814.5)     		ty = 814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 767 / 814 ti = "10/767/814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/767/814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 210
    767 ÷ 1024     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 814 ÷ 210
    814 ÷ 1024     		y = 0.794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794921875 × 2 - 1) × π
    -0.58984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85304879171289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85304879171289))-π/2
    2×atan(0.156758512971945)-π/2
    2×0.155493097363407-π/2
    0.310986194726815-1.57079632675     		φ = -1.25981013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25981013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.181803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 814 1.56466040 -1.25981013 89.648437 -72.181803
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 814 1.57079633 -1.25981013 90.000000 -72.181803
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 815 1.56466040 -1.26168224 89.648437 -72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 815 1.57079633 -1.26168224 90.000000 -72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25981013--1.26168224) × R
    0.00187211000000009 × 6371000     		dl = 11927.2128100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25981013--1.26168224) × R
    0.00187211000000009 × 6371000     		dr = 11927.2128100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.25981013) × R
    0.00613593000000012 × 0.305997676257917 × 6371000     		do = 11962.0642294314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.26168224) × R
    0.00613593000000012 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 11892.3692621435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25981013)-sin(-1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305997676257917-0.304214831957139)×R²
    abs(1.57079633-1.56466040)×0.00178284430077746×R²
    0.00613593000000012×0.00178284430077746×6371000²
    0.00613593000000012×0.00178284430077746×40589641000000     		ar = 142258493.906929m²