Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 767 / 812
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 89.648437°		 ← 12.103 km → S 71.965388°
E 90.000000°		 →
↑
12.067 km
↓
↑
12.067 km
↓
S 72.073911°
E 89.648437°		 ← 12.032 km →
145.620 km²		 S 72.073911°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74951171875 y=0.79345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74951171875 × 210)
    floor (0.74951171875 × 1024)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79345703125 × 210)
    floor (0.79345703125 × 1024)
    floor (812.5)     		ty = 812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 767 / 812 ti = "10/767/812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/767/812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 210
    767 ÷ 1024     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 812 ÷ 210
    812 ÷ 1024     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 812 1.56466040 -1.25603296 89.648437 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 812 1.57079633 -1.25603296 90.000000 -71.965388
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 813 1.56466040 -1.25792706 89.648437 -72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 813 1.57079633 -1.25792706 90.000000 -72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25792706) × R
    0.00189410000000012 × 6371000     		dl = 12067.3111000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25792706) × R
    0.00189410000000012 × 6371000     		dr = 12067.3111000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.25603296) × R
    0.00613593000000012 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 12102.5529505585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.25792706) × R
    0.00613593000000012 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 12032.1249219863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.307789876057852)×R²
    abs(1.57079633-1.56466040)×0.00180159650317824×R²
    0.00613593000000012×0.00180159650317824×6371000²
    0.00613593000000012×0.00180159650317824×40589641000000     		ar = 145620376.628971m²